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| Aufgabe | Untersuchen Sie, für welche k (k = 0; 1; 2) die Funktion differenziebar bist. [mm] \IR\to\IR
[/mm]
fk(x) = $ [mm] x^k [/mm] $ sin $ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] $ für x $ [mm] \not=0; [/mm] $
fk(x) = 0 fuer x = 0: |
Hallo ich habe die folgende Aufgabe hier schon mal gefunden im Forum, nur ist unsere Aufgabe bisschen anders gestellt, wie oben schon gestellt.
Unser Hiwi hat gesagt, wir sollen das mit dem Differentialquotienten machen. Das habe ich auch gemacht, nur ich wusste dann nicht mehr, wie ich das weiter vereinfachen kann.
Ich kenn mich jetzt mit dem Formeleditor leider nicht so aus, deshalb muss ich meine gedanken bisschen umschreiben in wörter.
also für k=0 bekomme ich ja: normal sin(1/X). So wenn ich das jetzt mit dem Dif.-quot. rechne, indem ich sage Limes [mm] x\toc. [/mm] Dann bekomme ich im Zähler sin(1/x) - sin(1/c) und dann im Nenner x -c. Hoffe ihr könnt noch folgen. Jetzt ist aber die frage, wie kann ich das ganze jetzt umstellen, so dass zum schluss ja -1/x² * cos(1/x) rauskommen soll?
kann mir vielleicht wer helfen?
Gruß schon mal.
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Hi,
> Untersuchen Sie, für welche k (k = 0; 1; 2) die Funktion
> differenziebar bist. [mm]\IR\to\IR[/mm]
> fk(x) = [mm]x^k[/mm] sin [mm]\bruch{1}{x}[/mm] für x [mm]\not=0;[/mm]
> fk(x) = 0 fuer x = 0:
> Hallo ich habe die folgende Aufgabe hier schon mal
> gefunden im Forum, nur ist unsere Aufgabe bisschen anders
> gestellt, wie oben schon gestellt.
> Unser Hiwi hat gesagt, wir sollen das mit dem
> Differentialquotienten machen. Das habe ich auch gemacht,
> nur ich wusste dann nicht mehr, wie ich das weiter
> vereinfachen kann.
> Ich kenn mich jetzt mit dem Formeleditor leider nicht so
> aus, deshalb muss ich meine gedanken bisschen umschreiben
> in wörter.
>
> also für k=0 bekomme ich ja: normal sin(1/X). So wenn ich
> das jetzt mit dem Dif.-quot. rechne, indem ich sage Limes
> [mm]x\toc.[/mm] Dann bekomme ich im Zähler sin(1/x) - sin(1/c) und
> dann im Nenner x -c. Hoffe ihr könnt noch folgen. Jetzt ist
> aber die frage, wie kann ich das ganze jetzt umstellen, so
> dass zum schluss ja -1/x² * cos(1/x) rauskommen soll?
> kann mir vielleicht wer helfen?
fang doch mal so an: x ungleich 0 ist uninteressant, dort ist die funktion sowieso diffbar. du musst eigentlich nur [mm] $x_0=0$ [/mm] untersuchen. f ist dort diffbar falls der GW
[mm] $f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac [/mm] {f(x)-f(0)}{x-0}$ existiert. Das ist aber gleich
[mm] $=\lim_{x\to 0} \frac {x^k \sin \frac1x}{x}$
[/mm]
ueberlege dir nun, fuer welche k dieser grenzwert existiert. denke dran, dass der sinus-term wild oszilliert aber dennoch durch 1 beschraenkt ist.
gruss
matthias
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Hi Matthias. Ich hatte mir jetzt im nachhinein auch überlegt die sache anders anzugehen, da man die sin-fkt. ja eh ableiten kann, so oft man will. da kann nicht der wurm der geschichte sein. ich habs dann auch mal so gemacht, wie du es gesagt hast. ich habe die ganze sache nur für [mm] x\tox_{0} [/mm] untersucht mit [mm] x_{0} [/mm] = O.
Also für k=0 habe ich nicht differenzierbar auf ganz [mm] \IR, [/mm] da es für (1/x)sin (1/x) keinen grenzwert gibt.
für k=1 ebenso nicht dif. auf ganz [mm] \IR, [/mm] da sin(1/x) keinen grenzwert hat
und für k=2 gleich differenziebar. ich kriege da xsin(1/x) raus und dies strebt ja gegen 0.
Bin mehr ehrlich gesagt, für k=0 nicht ganz sicher. Wäre nett, wenn mal jemand die ergebnisse überprüfen könnte.
danke.
Gruß
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Hi,
> Hi Matthias. Ich hatte mir jetzt im nachhinein auch
> überlegt die sache anders anzugehen, da man die sin-fkt. ja
> eh ableiten kann, so oft man will. da kann nicht der wurm
> der geschichte sein. ich habs dann auch mal so gemacht, wie
> du es gesagt hast. ich habe die ganze sache nur für
> [mm]x\tox_{0}[/mm] untersucht mit [mm]x_{0}[/mm] = O.
>
> Also für k=0 habe ich nicht differenzierbar auf ganz [mm]\IR,[/mm]
> da es für (1/x)sin (1/x) keinen grenzwert gibt.
im prinzip richtig, aber wieso fuer ganz R? ueberall ausser in der 0 folgt die diffbarkeit aus den elementaren regeln fuer diffbarkeit von verketteten fkten. also in 0 nicht diffbar, sonst ja.
>
> für k=1 ebenso nicht dif. auf ganz [mm]\IR,[/mm] da sin(1/x) keinen
> grenzwert hat
s.o.
>
> und für k=2 gleich differenziebar. ich kriege da xsin(1/x)
> raus und dies strebt ja gegen 0.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:17 Mi 28.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
Das mit ganz R war ja eigentlich auch so gemeint, das es halt ein Gegenbeispiel gibt und zwar hier die null, denn bei null ist die funktion ja nicht differenzierbar und somit auch nicht auf ganz R, da ja null element von R ist. aber hast schon recht, hört sich bisschen komisch an, ich werde das mal korriegieren. 
Danke nochmal
schönen abend noch
bye
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