Differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 So 03.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Sei $0 [mm] \in [/mm] U [mm] \subset R^2 [/mm] $ offen und $g: U [mm] \to [/mm] R $ eine beschränkte Funktion. Wir betrachten die Funktion $f: U [mm] \to [/mm] R$ mit
$f(x,y):= xy*g(x,y).$
Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt total differenzierbar ist. |
Eine Funktion [mm] f\colon [/mm] U [mm] \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, [/mm] wobei U eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt [mm] x_0 \in [/mm] U total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung [mm] L\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m [/mm] existiert, so dass
[mm] \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_0)-Lh}{\|h\|}=0 [/mm] gilt.
Ich geh davon aus das $Lh$ hier Hessesche Matrix von f ist, ich komme aber irgendwie nicht weiter :(.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nadja,
> Sei [mm]0 \in U \subset R^2[/mm] offen und [mm]g: U \to R[/mm] eine
> beschränkte Funktion. Wir betrachten die Funktion [mm]f: U \to R[/mm]
> mit
> [mm]f(x,y):= xy*g(x,y).[/mm]
>
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>
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> Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt total differenzierbar ist.
> Eine Funktion [mm]f\colon[/mm] U [mm]\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,[/mm]
> wobei U eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt [mm]x_0 \in[/mm]
> U total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar),
> falls eine lineare Abbildung [mm]L\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/mm]
> existiert, so dass
>
> [mm]\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_0)-Lh}{\|h\|}=0[/mm] gilt.
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> Ich geh davon aus das [mm]Lh[/mm] hier Hessesche Matrix von f ist,
> ich komme aber irgendwie nicht weiter :(.
nicht [mm] $Lh\,$ [/mm] ist die HessescheJacobi-Matrix, sondern [mm] $L\,$ [/mm] ist die HessescheJacobi Matrix (genauer: die Jacobi-Matrix, die (an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzeribares) [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] hat, also eigentlich ist [mm] $L=L_{x_0}$). $Lh\,$ [/mm] steht für nichts anderes als die Auswertung der HesseschenJacobi-Matrix an der Stelle [mm] $h\,,$ [/mm] also eigentlich [mm] $L(h)\,,$ [/mm] und aus Gründen, die Dir bekannt sein sollten (Matrixmultiplikation) ist [mm] $L(h)=L*h\,$ [/mm] ("Matrix-Vektor"-Produkt, wobei hier ein "Vektor" ja auch nur eine spezielle Matrix ist); kurz: [mm] $L(h)=L*h=Lh\,.$
[/mm]
Zu der Aufgabe:
Vielleicht kann man (für oben durch [mm] $f(x,y):=xy\;g(x,y)$ [/mm] definiertes [mm] $f\,$)
[/mm]
[mm] $$\left\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{\|h\|}\right\|$$
[/mm]
ja abschätzen...
P.S.:
Damit das ganze mit den "linearen Abbildungen" ein wenig klarer wird, vergleichen wir es mal mit differenzierbaren Funktionen [mm] $\IR \to \IR\,.$ [/mm] Speziell betrachten wir mal [mm] $f(x)=x^2\,.$
[/mm]
Hier ist [mm] $f'(x)=2x\,.$ [/mm] An der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ist also die lineare Abbildung [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] gegeben durch die $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix [mm] $L(h)=(2x_0)*h\,.$
[/mm]
Also Beispiel für konkretes [mm] $x_0$: [/mm] Ist etwa [mm] $x_0=5\,,$ [/mm] so ist [mm] $L=L_{x_0}=L_5=(2*5)=10\,.$ [/mm] Konkreter heißt das, dass dann die lineare Abbildung $L$ (für [mm] $x_0=5$) [/mm] nichts anderes ist als die Abbildung
[mm] $$L=L_{x_0}=L_5:\begin{cases} \IR \to \IR \\ x \mapsto L(x)=(2*x_0)*x=(10)*x=10*x \end{cases}\,.$$ [/mm]
Du siehst also, dass [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] (als Abbildung [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=5$ [/mm] als Ableitung die obige lineare Abbildung [mm] $L=L_5: \IR \to \IR$ [/mm] hat. Sie ordnet jedem Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] das zehnfache [mm] ($=2*x_0$-fache) [/mm] des Wertes zu.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja, auch wenn ich g(x,y)< C abschätze komme ich nicht weiter.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallon Nadja,
> Ja, auch wenn ich g(x,y)< C abschätze komme ich nicht
> weiter.
ich habe noch einiges angemerkt und korrigiert, lies' das bitte nochmal durch. Ansonsten:
[mm] $$\|g(x,y)\| [/mm] < c$$
sollte eine Abschätzung sein, die du verwenden kannst. Bei $g(x,y) < c$ kann die Funktion nach unten unbeschränkt sein.
Vielleicht schaut auch noch jemand anderes mal drüber, denn leider habe ich jetzt fast keine Zeit mehr. Du solltest aber dennoch mal wenigstens mehr von Deinen Überlegungen mitteilen, damit man überhaupt sieht, dass und welche Gedanken Du Dir schon gemacht hast.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
vielen dank, für die ausführliche Erklärung :).
Ich werde mich morgen mit der Aufgabe beschäftigen.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, auch wenn ich g(x,y)< C abschätze komme ich nicht
> weiter.
Es ist immer wieder erstaunlich: da stellen Leute Fragen, weil sie mit einer Aufgabe nicht klar kommen, diese Leute bekommen Tipps, Anregungen und Antworten, machen davon aber gar keinen Gebrauch !!
Was hat Marcel Dir geraten:
Abschätzung von
$ [mm] \left\|\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{\|h\|}\right\| [/mm] $
Hast Du das gemacht ?
FRED
>
>
> Lg
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