Differenzierbar/ergänze < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 05.02.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Ergängze Def der Funktion damit sie auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist
f(x) [mm] =\begin{cases} a, & \mbox{für } x \le -1 \\ b, & \mbox{für }x > 2 \end{cases} [/mm] |
Dachte an cos, oder sin den man da "einschleußen könnte"
Die "Lücke" ist bei x [mm] \in [/mm] (-1,2]
f(-1) = a
Existiert der [mm] lim_(x->x_0) \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] dann sagt man f ist an [mm] x_0 [/mm] differenzierbar. bzw rechts und linksseitige Ableitung stimmen überrein [mm] f_{+} [/mm] ' [mm] (x_0) [/mm] = [mm] f_{-} [/mm] ' [mm] (x_0)
[/mm]
Die Ableitung der Konstanten a und b ist 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 So 05.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ergängze Def der Funktion damit sie auf [mm]\IR[/mm]
> differenzierbar ist
> f(x) [mm]=\begin{cases} a, & \mbox{für } x \le -1 \\ b, & \mbox{für }x > 2 \end{cases}[/mm]
Du kannst jede differenzierbare Funktion
$$g:(-1,2] [mm] \to \IR$$
[/mm]
hernehmen, die die Bedingungen
$$1.) [mm] \;\;\lim_{x \to -1}g(x)=\lim_{(-1,2] \ni x \to -1}g(x)=a\,,$$
[/mm]
$$2.) [mm] \;\;\lim_{x \to 2}g(x)=\lim_{(-1,2] \ni x \to 2}g(x)=b\,,$$
[/mm]
$$3.) [mm] \;\;\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{g(-1+h)-\overbrace{a}^{=g(-1)}}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\frac{g(-1+h)-a}{h}=0\,,$$
[/mm]
$$4.) [mm] \;\;\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{g(2-h)-b}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\frac{g(2-h)-b}{h}=0\,,$$
[/mm]
erfüllt.
Beachte: An der Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] muss [mm] "$g\,$ [/mm] stetig in die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] übergehen" (vgl. 2.)), daher kann man in 4.) direkt [mm] $g(2):=b\,$ [/mm] benutzen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 So 05.02.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, schonmal danke.
Bei Bedingung 1 und 2 meinst du ja einmal den linksseitigen und einmal den rechtsseitigen Grenzwert, der gleich sein muss
> $ 1.) [mm] \;\;\lim_{x \to -1}g(x)=\lim_{(-1,2] \ni x \to -1}g(x)=a\,, [/mm] $
Und von welchen def-Bereich ist das x von den ersten Grenzwert?
Weil g(-1) ist ja eigentlich nicht definiert, mir ist aber schon klar, dass man trotzdem den Grenzwert bilden kann.
bei 3 und 4 ist die schreibweise etwas unklar,
Im Kurs hatten wir:
[mm] lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
[/mm]
dann wäre bei mir
$ 3.) [mm] \lim_{0 < h \to 0}\frac{g(-1+h) -a}{h}=0\,, [/mm] $
> $ 3.) [mm] \;\;\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{\overbrace{a}^{=g(-1)}-g(-1+h)}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\frac{a-g(-1+h)}{h}=0\,, [/mm] $
Hast du hier auch wieder einmal den Grenzwert von linkskommend und einmal von rechtskommend gemeint?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 05.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, schonmal danke.
>
> Bei Bedingung 1 und 2 meinst du ja einmal den linksseitigen
> und einmal den rechtsseitigen Grenzwert, der gleich sein
> muss
genau!
> > [mm]1.) \;\;\lim_{x \to -1}g(x)=\lim_{(-1,2] \ni x \to -1}g(x)=a\,,[/mm]
>
> Und von welchen def-Bereich ist das x von den ersten
> Grenzwert?
Das ist nur als Verdeutlichung gemeint gewesen. Die Notation [mm] $\lim_{x \to -1}g(x)\,$ [/mm] ist per Definitionem nichts anderes als
[mm] $$\lim_{(-1,2] \ni x \to -1}g(x)\,.$$ [/mm]
> Weil g(-1) ist ja eigentlich nicht definiert, mir ist aber
> schon klar, dass man trotzdem den Grenzwert bilden kann.
Genau!
> bei 3 und 4 ist die schreibweise etwas unklar,
> Im Kurs hatten wir:
> [mm]lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/mm]
> dann wäre
> bei mir
> [mm]3.) \lim_{0 < h \to 0}\frac{g(-1+h) -a}{h}=0\,,[/mm]
>
> > [mm]3.) \;\;\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{\overbrace{a}^{=g(-1)}-g(-1+h)}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\frac{a-g(-1+h)}{h}=0\,,[/mm]
>
> Hast du hier auch wieder einmal den Grenzwert von
> linkskommend und einmal von rechtskommend gemeint?
Bei 3.) hatte den (rechtsseitigen) Grenzwert an der Stelle [mm] $-1\,$ [/mm] gemeint, bei 4.) den linksseitigen an der Stelle [mm] $2\,.$ [/mm]
Aber Du hast Recht, da habe ich ein wenig geschlampt (was, weil der Grenzwert jeweils [mm] $=0\,$ [/mm] sein soll, sogar hier egal war). Ich korrigiere das gerade nochmal (wie gesagt: Falsch war das, was ich geschrieben hatte, nicht, aber evtl. ein wenig verwirrend!):
Eigentlich gehört etwa bei 3.) die Forderung (ich schreibe es mal genauer, siehe auch das P.S. unten)
[mm] $$\lim_{h \to 0} \frac{g(-1+h)-a}{h}=\lim_{(0,3] \ni h \to 0}\frac{g(-1+h)-a}{h}=0$$
[/mm]
hin!
(Nennen wir den Grenzwert oben mal [mm] $G_{-1}\,,$ [/mm] so ist die eigentliche Forderung [mm] $G_{-1}=0\,.$ [/mm] Ich hatte (ein wenig "schlampig") [mm] $-G_{-1}=0\,$ [/mm] gefordert. Das ist aber das gleiche, da die Forderungen einander äquivalent sind - aber klar: Es war verwirrend! Sorry!)
P.S.:
Eigentlich hätte ich bei 3.) und 4.) der Konsistenz wegen auch ein wenig genauer schreiben können, welche Bedingungen das [mm] $h\,$ [/mm] jeweils erfüllt. Schau' aber nochmal nach:
In der Notation
[mm] $$\lim_{h \to 0}g(-1+h)$$
[/mm]
ist eigentlich schon enthalten, dass $h > [mm] 0\,$ [/mm] ist (und $h [mm] \le [/mm] 3$). Ich wollte das nur nochmal explizit erwähnen, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{h \to 0}g(-1+h)$ [/mm] per Definitionem wirklich "der rechtsseitige Grenzwert" von [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $-1\,$ [/mm] ist (einen linksseitigen gibt's für [mm] $g\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $-1\,$ [/mm] ja eh nicht).
(Genaueres kannst Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen: Definition 10.4.)
Gruß,
Marcel
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