Differenzierbar in einem Punkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | Seien f: R --> R stetig und a,b sowie x0 reelle Zahlen. Betrachte die Funktion
[mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox x \le x0 \\ ax + b, & \mbox x > x0 \end{cases}
[/mm]
Unter welcher zusätzlichen Annahme an f kann man a und b wählen, sodass g im Punkt x0 differenzierbar ist? Versuchen Sie, einer möglichst schwache Annahme zu finden.
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Ich habe hier irgendwie überhaupt keinen Ansatz. Ich weiß, dass eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, falls f(x) = f (a) + c (x-a) + v (x). Aber kann ich denn damit denn bei dieser aufgabe was anfangen.
Wäre echt dankbar für irgendwelche Ansätze!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:51 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sherin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit an der betrachteten Stelle [mm] $x_0$ [/mm] .
Es muss also gelten (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert):
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g(x) [/mm] \ =\ [mm] g(x_0)$
[/mm]
Übertragen auf Deine Funktion:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}[a*x+b] [/mm] \ =\ [mm] f(x_0)$
[/mm]
Ebenso müssen die Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g'(x)$
[/mm]
Wie lautet die Ableitung von $g(x)_$ (unterteilt in [mm] $x>x_0$ [/mm] bzw. [mm] $x\le x_0$ [/mm] ) ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Sherin |
Danke Loddar!
Die Ableitung von g(x),
für x [mm] \le [/mm] x0: f'(x) und
für x > x0: a.
Was mache ich dann damit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sherin!
> Die Ableitung von g(x),
> für x [mm]\le[/mm] x0: f'(x) und
> für x > x0: a.
Streng genommen gilt die eine Teilableitung nur für $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] x_0$ [/mm] . Schließlich wollen wir die Differenzierbarkeit für $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] x_0$ [/mm] erst zeigen.
Das setzen wir nun in die Grenzwertbetrachtung für die Differenzierbarkeit ein und erhalten:
[mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ a$
Damit haben wir nun zwei Bedingungen für die beiden Unbekannten Parameter $a_$ und $b_$ ermittelt.
Evtl. könnte man die Gleichung $a \ =\ [mm] f'(x_0)$ [/mm] noch in die Gleichung der Stetigkeit [mm] $f(x_0) [/mm] \ =\ [mm] a*x_0+b$ [/mm] einsetzen und dann nach $b_$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Sherin |
Das heißt, ich würde da rausbekommen:
a = f'(x) und b = f(x0) - f'(x) * x
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, noch einmal:
Wenn der linksseitige Differentialquotient von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$, [/mm]
[mm] $f'(x_0):= \lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,
[/mm]
existiert und gleich $a$ ist sowie die Beziehung
$b = [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] f'(x_0) \cdot x_0$
[/mm]
gilt, dann ist $g$ in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Sherin |
Alles klar!! Dankeschön.. :)
Lg,
Sherin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Sa 31.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ebenso müssen die Grenzwerte der Ableitungsfunktion
> übereinstimmen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g'(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g'(x)[/mm]
Das ist so, wie es da steht, falsch. denn dann müsste die Funktion ja stetig diffbar sein. Das ist aber nicht verlangt, man muss hier anstatt [m]g'(x)[/m] in Wirklichkeit [m]\bruch{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}[/m] einsetzen, und die Differenzenquotienten betrachten. (Obiges ist für das Herangehen von rechts sicher okay, da aber f nur stetig vorrausgesetzt wird, ist stetige Diffbarkeit in einer Umgebung von [m]x_0[/m] sicher zu stark.)
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es muss also gelten (siehe den Kommentar von SEcki):
[mm] $\lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = a$.
Genau dann (angenommen die von Loddar genannte Stetigkeitsbedingung gilt) ist $g$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar.
Liebe Grüße
Stefan
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