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Zuerst mal ein Hallöchen an euch alle.
Ich hab hier ein Problem mit einer Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiß, was ich machen soll und wäre über Tipps sehr dankbar.
Also hier ist sie :
Seien c [mm] \in \IR [/mm] eine Konstante, f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit
f'(x) = c f(x) für alle c [mm] \in \IR
[/mm]
und A:= f(0). Zeigen Sie das gilt
f(x) = A * [mm] e^{cx} [/mm] für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt !
Also, wie schonmal erwähnt, bin ich hier total planlos .
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Ich bin mir leider nur nicht ganz sicher, was hier genau gezeigt werden soll... wenn's nur darum geht, dass die angegebene Funktion [mm]f(x)=A \cdot e^{cx}[/mm] die angegebene DGL erfüllt, dann ist das in 10 Sekunden erledigt:
[mm]f'(x)=A \cdot c \cdot e^{cx}=c \cdot \underbrace{A \cdot e^{cx}}_{f(x)}=c \cdot f(x)[/mm]
Aber ich glaube, man sollte diese Lösung eher berechnen; das [mm]A := f(0)[/mm] klingt doch sehr nach 'nem Anfangswertproblem.
Aber die DGL zu lösen ist auch nicht sonderlich schwer:
[mm]y'=c \cdot y[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\bruch{dy}{dx}=c \cdot y[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]\bruch{dy}{y}=c \cdot dx[/mm] (Trennung der Variablen).
Integration (Int.konstante nicht vergessen) liefert die gewünschte Funktion.
Da ich mir trotzdem nicht ganz sicher bin, ob ich die Frage zufriedenstellend beantwortet habe, lass ich sie mal auf "teilweise beantwortet".
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mo 31.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Also, wie schonmal erwähnt, bin ich hier total planlos .
Ich gebe mal folgenden Tip: Betrachte doch mal [mm] f(x)*e^{-cx}[/mm] und benutze [mm]g'=0\gdw g=\mbox{const.}[/mm].
SEcki
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Hi, zunächst mal bedanke ich mich mal bei euch beiden. Allerdings bringen mich die Tipps nicht wirklich weiter.
Zur ersten Antwort: Integration hatten wir noch nicht, also kommt das für den beweis auch nicht in Frage, aber trotzdem vielen Dank.
Zur zweiten Antwort: Komme mit diesen Tipps nicht weiter.
Mir ist auch leider unklar, was ich da überhaupt zeigen soll.
Grüße Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Di 01.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Chironimus
Secki meint folgendes:
Wenn f(x) Lösung der DGL ist, dann sollst du die Funktion [mm] $g(x)=e^{-cx}f(x)$ [/mm] betrachten und zeigen, dass $g'(x)=0$ ist.
Du löst einfach [mm] $g(x)=e^{-cx}f(x)$ [/mm] nach f(x) auf und setzt in die DGL ein.
mfG Moudi
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:09 Di 01.02.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hallo Moudi,
es ist mir echt fast schon peinlich, dass ich trotz diesen Tipps von Dir und Secki immernoch nicht in der Lage bin, diese Aufgabe zu lösen.
Mein Probleme sind, dass ich immernoch nicht weiß was genau ich zeigen soll bzw.wie man auf die neue Gleichung g(x) kommt und was man letztendlich damit genau machen muß. Ich habe echt lange darüber Gedanken gemacht und bin dann doch zu keinem Schluß gekommen.
Wenn ihr noch Zeit und Lust habt, mir diese Aufgabe vielleicht noch etwas näher zu erklären, wäre ich euch sehr dankbar.
Wenn nicht, kann ich es euch nicht verübeln 
Grüße Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Ich denke, wenn ihr noch nicht Diffenrentialgleichungen lösen könnt, müsste es reichen, dass du bestätigst, dass die gegebene Funktion die Gleichung löst.
Du kennst ja die Funktion, nämlich $f(x)=A [mm] \cdot e^{cx}$ [/mm] und du weißt welche Bedingung die Funktion $f$ erfüllen muss ( [mm] $f'(x)=c\cdot [/mm] f(x)$). Es reicht jetzt $f'$ zu bestimmen und zu zeigen, dass es die Gleichung erfüllt.
e.kandrai hat diesen Nachweis ja bereits in der ersten Antwort geführt. Ich hoffe dir ist diese Lösung jetzt etwas klarer.
Für die Lösung mit der Seperation werden halt Integrale benötigt - da ihr das scheinbar noch nicht kennt, schreibe ich mal nix dazu.
Die Lösung mit Hilfsfunktion [mm] $g(x)=f(x)\cdot e^{-cx}$ [/mm] ist gar nicht so schwer, wenn man diesen Ansatz schon hat.
Berechnet man $g'$ erhält man
$g'(x)=f'(x) [mm] e^{-cx} [/mm] + [mm] (-c)f(x)e^{-cx} [/mm] = [mm] \left( f'(x) -cf(x)\right) e^{-cx}$
[/mm]
Da aber [mm] $f'(x)=c\cdot [/mm] f(x)$ ist die Klammer für $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] Null und damit auch $g'(x)=0$.
Damit folgt aber, dass $g$ eine konstante Funktion sein muss, nennen wir diese Konstante A.
$g(x)=A = f(x) [mm] e^{-cx}$
[/mm]
Löst man jetzt nach $f$ auf, erhält man wie gewünscht $f(x)=A [mm] \cdot e^{cx}.
[/mm]
Gruß Brackhaus
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