Differenzierbare Funktion best < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Di 23.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Paramter a, b, c und d so, dass die folgende Funktion jeweils überrall differenzierbar wird, und skizzieren Sie sodann die Funktionskurven:
[mm] f(n)=\begin{cases} 2, & \mbox{falls } \mbox{ x ist kleiner oder gleich 1} \\ ax^{2}+bx+c, & \mbox{falls } \mbox{ 1
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Hallo Leute
Das einzige was mir hierzu einfällt ist folgendes: Differenzierbar ist eine Funktion wenn sie stetig ist, was wiederum heisst, man muss die Linie in einem Zug zeichnen können, ohne abzusetzen.
Weiter weiss ich, dass sowohl der erste als auch der dritte Teil der Funktion linear sind. Der zweite Teil der Funktion grenzt also an die beiden Anderen an. Damit kann ich beispielsweise den ersten Punkt des zweiten Teiles bestimmen (Funktionswert bei x=1 ist 2)
Die Aufgabe wäre eigentlich recht einfach, wenn da im dritten Teil nicht das d stehen würde. Hat mir jemand einen Tipp? Danke schon im Voraus!
Grüsse belimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast richtig gesehen, dass die fkt. erstmal stetig sein muss.(deine beschreibg. von stetigkeit ist allerdings zu einfach) richtig ist, dass die Funktionswerte an der stelle x=1 und x=2 uebereinstimmen muessen. Damit hast du 2 Gleichungen fuer a,b,c,d.
Damit die Gesamtfkt aber auch differenzierbar ist, muessen auch die Steigungen+ableitungen bei x=1 und x=2 uebereinstimmen. damit hast du 2 weitere Gl. und damit 4 um 4 Unbekannte zu bestimmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | belimo |
Danke für die Antwort!
> Hallo
> Du hast richtig gesehen, dass die fkt. erstmal stetig sein
> muss.(deine beschreibg. von stetigkeit ist allerdings zu
> einfach) richtig ist, dass die Funktionswerte an der stelle
> x=1 und x=2 uebereinstimmen muessen. Damit hast du 2
> Gleichungen fuer a,b,c,d.
Eines verstehe ich aber absolut gar nicht. Warum müssen die Funktionswerte x=1 und x=2 übereinstimmen? Denn wenn das wirklich so ist, dann kann ich ja ganz einfach d bestimmen. Und damit ist die ganze Aufgabe schon ein Stück einfacher 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke für die Antwort!
>
> > Hallo
> > Du hast richtig gesehen, dass die fkt. erstmal stetig
> sein
> > muss.(deine beschreibg. von stetigkeit ist allerdings zu
> > einfach) richtig ist, dass die Funktionswerte an der stelle
> > x=1 und x=2 uebereinstimmen muessen. Damit hast du 2
> > Gleichungen fuer a,b,c,d.
>
> Eines verstehe ich aber absolut gar nicht. Warum müssen die
> Funktionswerte x=1 und x=2 übereinstimmen? Denn wenn das
> wirklich so ist, dann kann ich ja ganz einfach d bestimmen.
Da hast du mich scheins missverstanden:
> Und damit ist die ganze Aufgabe schon ein Stück einfacher
>
Wenn sie BEI x=1 und x=2 nicht uebereinstimmen dann waer da ja ein Sprung! aber Vorsicht bei x=1 f(x)=2, also a+b+c=2
bei x=2 4a+2b+c=4+d, also nur die jeweiligen werte gleich.
Jetzt klarer?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Di 23.01.2007 | | Autor: | belimo |
> Wenn sie BEI x=1 und x=2 nicht uebereinstimmen dann waer da
> ja ein Sprung!
??? Das sehe ich irgendwie grad nicht. Habe - damit wir nicht aneinander vorbei reden eine kleine Grafik gemacht. Du kannst sie hier anschauen:
http://www.hotweb.ch/ablagen/matheraum/1.gif
Also ich finde, die Funktion ist doch stetig?! und der Funktionswert ist bei x 1 und 2 nicht gleich. Vielleicht siehst du so wo mein Überlegungsfehler liegt?
Danke nochmals
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Di 23.01.2007 | | Autor: | Xylemi |
Liebe Leute, aus der Stetigkeit an einer Stelle folgt nicht die Differenzierbarkeit. Das gilt nur umgekehrt.
Allgemein gilt, dass eine Funktion f an einer Stelle xo diffenrenzierbar ist, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen. Die Funktion darf also an dieser Stelle keinen "Knick", keine Spitze, haben. Die Grenzwerte der Sekantensteigung (das ist der Diffenrenzenquotient) sind klar, das sind die Ableitungen der linearen Funktionen an den Randstellen. Daher muss also f' einmal 0 und an der anderen Seite 2 sein.
Ich hoffe das hilft weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal: die funktion soll NICHT bei x=1 und x=2 gleich sein! bei x=1 muss die Parabel und die Gerade y=2 denselben Wert haben, bei x=2 die Parabel und die Gerade y=2x+d wie in deiner Zeichnung,
Jetzt muessen nur noch die "Knicke" bei den 2 Stellen weg, d.h. die parabel muss bei x=1 die steigung 0 haben, bei x=2 die Steigung 2.
Gruss leduart
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