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| Aufgabe | Es sei n ∈ [mm] \IN [/mm] und f, g : I → [mm] \IR [/mm] seien n mal differenzierbare
Funktionen. Zeigen Sie
[mm] (f*g)^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} f^{(n-k)} g^{(k)} [/mm] |
Inwieweit hilft mir denn hier die Aussage, dass es sich um differenzierbare Funktionen handelt? Ich verstehe nicht ganz, wie ich diese Summe bearbeiten muss, um die Aufgabe zu zeigen
Hilfe und Tipps sind sehr willkommen ^^
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Ich hab mal paar ausprobiert:
(f*g)' = f'*g + f*g'
(f*g)'' = ((f*g)')' = (f'*g + f*g')' = f''*g + f'*g' + f'*g' + f*g'' = f''*g + 2*f'*g' + f*g''
usw.
Scheint ja zu stimmen, es bilden sich (wie bei den binomischen Formeln) die entsprechenden Koeffizienten vor den Funktionen.
Ich glaube nicht, dass die Voraussetzungen etwas mit dem Beweis zu tun haben, sie werden gebraucht, damit die Formel überhaupt stimmt (f muss n-mal differenzierbar sein, damit es n-mal abgeleitet werden kann).
Ich würde Induktion versuchen:
IA:
[mm] (f*g)^{(1)} [/mm] = f'*g + f*g' = [mm] \summe_{k=0}^{1}\vektor{1 \\ k}*f^{1-k}*g^{(k)} [/mm] w.A.
IV: für n gilt's,
Zu zeigen: Für n+1 gilt's (in diesem Fall sind die Funktionen natürlich (n+1)-mal differenzierbar)
[mm] (f*g)^{(n+1)} [/mm] = [mm] ((f*g)^{(n)})'
[/mm]
Nach IV ist das
= [mm] (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{(n-k)}*g^{(k)})'
[/mm]
Nach Summenregel für Ableitungen:
= [mm] \summe_{k=0}^{n}(\vektor{n \\ k}*f^{(n-k)}*g^{(k)})'
[/mm]
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ist konstant
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(f^{(n-k)}*g^{(k)})'
[/mm]
Ableitungsregel für Produkte
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(f^{(n+1-k)}*g^{(k)} [/mm] + [mm] f^{(n-k)}*g^{(k+1)})
[/mm]
Aufspalten (weiss nicht ob das eine gute Idee ist)
= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{(n+1-k)}*g^{(k)} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*f^{(n-k)}*g^{(k+1)}
[/mm]
Und das müsste dann nach ein paar  Umformungsschritten
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k}*f^{(n+1-k)}*g^{(k)}
[/mm]
sein, aber ich weiß nicht wie man drauf kommt...
Viel Glück beim Versuchen!
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Hab mich doch nochmal dran gesetzt. Wir machen also an der Stelle am Ende der Mitteilung weiter (ich konnts besser schnell mit Word skizzieren weil ich nicht wusste wie man hier Tabellen macht):
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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