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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 20.01.2010 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei $f:(a,b) [mm] \subset \IR \rightarrow \IR$ [/mm] eine stetige Funktion und [mm] $x_0 \in [/mm] (a,b)$. Außerdem existiere für jede Nullfolge [mm] $(h_n)_{n \in \IN} \subset \IR$ [/mm] mit [mm] $x_0 \pm h_n \in [/mm] (a,b)$ bereits der Grenzwert:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{2h_n}$.
[/mm]
Ist f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar? |
Bin mir immer noch nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber hab trotzdem mal versucht zu beweisen, das f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenizierbar ist.
BW:
[mm] $\frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{2h_n} [/mm] = [mm] \frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{(x_0 + h_n)-(x_0 - h_n)} [/mm] = [mm] \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{\alpha - \beta}$
[/mm]
mit Mittelwertsatz:
$f(c)$ mit $c [mm] \in [\alpha,\beta]$, [/mm] insbesondere $c [mm] \in [/mm] [a,b]$
mit [mm] $\frac{f(\alpha) - f(\beta)}{\alpha - \beta} [/mm] = [mm] f^{' }(c)$ [/mm] für [mm] \limes_{n \to \infty} h_n \rightarrow0$
[/mm]
$c [mm] \in [\beta,\alpha] \Rightarrow [/mm] c [mm] \in [x_0 [/mm] - [mm] h_n, x_0 [/mm] + [mm] h_n]$
[/mm]
[mm] $\limes_{n \to \infty} [/mm] c = [mm] x_0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar.
Stimmt das so?
Bin wirklich um jede Hilfe und erklärung dankbar.
Viele liebe Grüße
Ohlala
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mi 20.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]f:(a,b) \subset \IR \rightarrow \IR[/mm] eine stetige
> Funktion und [mm]x_0 \in (a,b)[/mm]. Außerdem existiere eine
> Nullfolge [mm](h_n)_{n \in \IN} \subset \IR[/mm] mit [mm]x_0 \pm h_n \in (a,b)[/mm]
> bereits der Grenzwert:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{2h_n}[/mm].
>
> Ist f an der Stelle [mm]x_0[/mm] differenzierbar?
> Bin mir immer noch nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe
> richtig verstanden habe, aber hab trotzdem mal versucht zu
> beweisen, das f an der Stelle [mm]x_0[/mm] differenizierbar ist.
>
> BW:
> [mm]\frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{2h_n} = \frac{f(x_0 + h_n)-f(x_0 - h_n)}{(x_0 + h_n)-(x_0 - h_n)} = \frac{f(\alpha) - f(\beta)}{\alpha - \beta}[/mm]
>
> mit Mittelwertsatz:
> [mm]f(c)[/mm] mit [mm]c \in [\alpha,\beta][/mm], insbesondere [mm]c \in [a,b][/mm]
>
> mit [mm]$\frac{f(\alpha) - f(\beta)}{\alpha - \beta}[/mm] = [mm]f^{' }(c)$[/mm]
> für [mm]\limes_{n \to \infty} h_n \rightarrow0$[/mm]
> [mm]c \in [\beta,\alpha] \Rightarrow c \in [x_0 - h_n, x_0 + h_n][/mm]
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} c = x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] differenzierbar.
>
> Stimmt das so?
> Bin wirklich um jede Hilfe und erklärung dankbar.
>
> Viele liebe Grüße
>
> Ohlala
Hallo,
bevor ich eine tragfähige Antwort geben kann, brauche ich die exakte Aufgabenstellung.
Bei "... Außerdem existiere eine Nullfolge [mm](h_n)_{n \in \IN} \subset \IR[/mm] mit [mm]x_0 \pm h_n \in (a,b)[/mm] bereits der Grenzwert:..."
ist dir vermutlich sprachlich etwas daneben gegangen.
Wie soll es richtig heißen?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mi 20.01.2010 | | Autor: | ohlala |
Sorry! Ich habs jetzt korrigiert, es heißt: .... für jede Nullfolge....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Dein "Beweis" ist kein Beweis, denn , um die Differenzierbarkeit in [mm] x_0 [/mm] zu zeigen, benutzt Du den Mittelwertsatz. Der setzt aber die Differenzierbarkeit von f voraus !
Du hast also "gezeigt": wenn f auf (a,b) differenzierbar ist, dann ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar.
2. Die Antwort auf die Frage "Ist f an der Stelle $ [mm] x_0 [/mm] $ differenzierbar?" lautet:
im allgemeinen nicht.
Bsp: $f(x) =|x|$ , [mm] x_0 [/mm] =0.
FRED
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