www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungDifferenzierbarkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Differenzialrechnung" - Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differenzierbarkeit: Bestimmen der Diff.barkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mi 03.09.2014
Autor: fabian.schneider

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{x}+1, 0 < x \le 1 \\ ax^2+b, x > 1 \end{cases} [/mm]
wobei a, b [mm] \in \IR [/mm]

Bestimme die Paramter a und b so, dass f in x=1 differenzierbar ist.

Ich wollte wie folgt vorgehen:

1. Grenzwert von links kommend bestimmen mit h-Methode (da ich diesen Wert nicht beeinflussen kann und nur auf der oberen Gleichung beruht)

2. a und b so anpassen, dass der Grenzwert von rechts kommend gleich dem von links ist (da f in x=1 in diesem Fall differenzierbar wäre)

Schritt eins habe ich bereits durchgeführt:

[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^-} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0 \0^-} \bruch{-1}{1+h} [/mm] = -1

deswegen muss auch

[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h} [/mm] = -1

da f(1) = 2 ist, muss noch weitergedacht

[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-2}{h} [/mm] = -1

da jedoch 1+h bei rechts > 1 , muss nun die zweite Gleichung verwendet werden.


Setzt man [mm] ax^2+b [/mm] ohne Werte für a und b ein, erhält man

[mm] \limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h} [/mm] = -1


Und an dieser Stelle hänge ich fest und habe momentan keine Idee, wie nun a und b ermittelt werden könnten... insbesondere, weil ich keine Idee habe, wie ich das h im Nenner verschwinden lassen kann bzw. wie bei h [mm] \to [/mm] 0 eine 1 im Nenner entstehen kann...


Danke für eure Hilfe.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Mi 03.09.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{x}+1, 0 < x \le 1 \\ ax^2+b, x > 1 \end{cases}[/mm]

>

> wobei a, b [mm]\in \IR[/mm]

>

> Bestimme die Paramter a und b so, dass f in x=1
> differenzierbar ist.
> Ich wollte wie folgt vorgehen:

>

> 1. Grenzwert von links kommend bestimmen mit h-Methode (da
> ich diesen Wert nicht beeinflussen kann und nur auf der
> oberen Gleichung beruht)

>

> 2. a und b so anpassen, dass der Grenzwert von rechts
> kommend gleich dem von links ist (da f in x=1 in diesem
> Fall differenzierbar wäre)

>

> Schritt eins habe ich bereits durchgeführt:

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^-} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow0 \0^-} \bruch{-1}{1+h}[/mm] = -1

>

> deswegen muss auch

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-f(1)}{h}[/mm] = -1

>

> da f(1) = 2 ist, muss noch weitergedacht

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{f(1+h)-2}{h}[/mm] = -1

>

> da jedoch 1+h bei rechts > 1 , muss nun die zweite
> Gleichung verwendet werden.

>
>

> Setzt man [mm]ax^2+b[/mm] ohne Werte für a und b ein, erhält man

>

> [mm]\limes_{h\rightarrow\0 0^+} \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h}[/mm] =
> -1

>
>

> Und an dieser Stelle hänge ich fest und habe momentan
> keine Idee, wie nun a und b ermittelt werden könnten...
> insbesondere, weil ich keine Idee habe, wie ich das h im
> Nenner verschwinden lassen kann bzw. wie bei h [mm]\to[/mm] 0 eine 1
> im Nenner entstehen kann...

>
>

Das ist alles viel zu kompliziert gedacht. Bilde noch die erste Ableitung deiner Funktion. Den Grenzwert für x->1 von rechts her kann man hier direkt durch Einsetzen ausrechnen, da braucht es keinerlei Tricks. Und auch die h-Methode ist hier völlig fehl am Platz: verwende einschlägig bekannte Ableitungsregeln.

Dan sorge dafür, dass sowohl die Funktion als auch die Ableitung an der Stelle x=1 stetig sind. Das führt zu zwei Bestimmungsgleichungen, von denen eine sofort a und die andere dann letztendlich b liefert.

EDIT: natürlich kannst du es auch so machen, wie du angefangen hast. Korrigiere dann zunächst den Vorzeichenfehler vor dem b beim Differenzenquotienten von rechts.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 16:47 Mi 03.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hallo Diophant,

> Dan sorge dafür, dass sowohl die Funktion als auch die Ableitung an der Stelle x=1 stetig sind.

wer sagt, dass das funktionieren muss?
Die Ableitungsfunktion muss im Allgemeinen ja gar nicht stetig sein (dass sie es hier womöglich ist, kann der Fragesteller ja zu dem Zeitpunkt gar nicht wissen)!

Gruß,
Gono.

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 17:01 Mi 03.09.2014
Autor: Diophant

Hallo Gono,

ich bin vodn den Angaben im Profil des Themenstarters ausgegangen und habe gedacht, ich erkläre es so, wie man es für gewöhnlich in der Schule macht.

Wenn er es so machen möchte, wie er es angefangen hat, dann wäre da noch ein Vorzeichenfehler vor dem b beim Berechnen des Differenzilaquotienten von rechts zu beheben.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mi 03.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

entgegen Diophants Post bin ich der Meinung, dass dein Vorgehen völlig korrekt ist.

Bestimme nun einfach a und b so, dass dein Grenzwert existiert und -1 ist.
Tipp: Teile deinen Nenner in Summanden mit h und Summanden ohne h

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Mi 03.09.2014
Autor: fabian.schneider

Wenn ich nun

[mm] \bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h} [/mm] = -1

so wie beschrieben einteile (und ausklammere), erhalte ich

[mm] \bruch{a+2ah+ah^2+b-2}{h} [/mm] = [mm] \bruch{a+b-2}{h}+2a+ah [/mm] = -1

Wie soll ich nun aber weiter vorgehen, um a und b zu erhalten?

Bezug
                        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mi 03.09.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich nun
>  
> [mm]\bruch{[a(1+2h+h^2)-b]-2}{h}[/mm] = -1
>  
> so wie beschrieben einteile (und ausklammere), erhalte ich
>  
> [mm]\bruch{a+2ah+ah^2+b-2}{h}[/mm] = [mm]\bruch{a+b-2}{h}+2a+ah[/mm] = -1

du solltest dir mal über dein b klar werden. Mal ist es -b, dann wieder +b.
Was ist es denn nun?
Insbesondere macht es gar keinen Sinn, dass [mm] \lim [/mm] vorher weg zu lassen und dann trotzdem =-1 zu schreiben!

Aber ansonsten stimmt deine Rechnung.

Nun mach dir mal klar, wogegen jeder einzelne Summand geht, falls [mm] $h\to [/mm] 0^+$
Zwei davon sind sofort klar, beim dritten muss man etwas überlegen und erhält daraus eine Bedingung für a und b.

Diese Bedingung kann aber auch über Stetigkeitsbedingungen für die Ursprungsfunktion bekommen, das war das, was Diophant angesprochen hat. Wenn die Funktion an x=1 differenzierbar sein soll, dann ist sie dort insbesondere stetig. Also muss welche Beziehung zwischen a und b gelten?)

Gruß,
Gono.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]