Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 So 15.01.2006 | | Autor: | wimath |
| Aufgabe | Zu vorgegebener natürlicher Zahl [mm]n[/mm] betrachten wir die funktion
[mm]f: \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur } x \le 0 \\ x^{n}, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] [mm]n-1\texttt{--mal}[/mm] differenzierbar ist, aber nicht [mm]n\texttt{--mal}[/mm], und berechnen Sie die Ableitungen [mm]f^{(k)}[/mm] für [mm]1 \le k
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Hallo!
Also ich weiß nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Eine Funktion ist doch dann differenzierbar, wenn an jeder Stelle der Grenzwert des Differenzenquotienen existiert; Aber wie ich jetzt damit die Aussage beweise, weiß ich nicht!
Vielen Dank im vorraus!
wimath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 So 15.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich hab es jetzt nicht bis ins letzte durchprobiert, aber ich würde wohl so vorgehen:
Die Differenzierbarkeit für x [mm] \ne [/mm] 0 ist ja klar, bleibt also nur noch x = 0 zu untersuchen.
1. Zeige man, dass die Funktion für n = 1 in x = o nicht diffbar ist (elementar über den Grenzwert des Differenzenqutioenten von links und rechts).
2. Zeige man, dass für n > 1 f in x = 0 einmal diffbar ist.
3. führt man die m-te Ableitung von f auf die Situation von f mit n' = n-m zurück (per Induktion?)
Probiers doch mal damit!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 15.01.2006 | | Autor: | wimath |
Hi!
Danke für die Antwort, dein Hinweis hat mich zu folgender (hoffentlich richtigen) Lösung geführt. Also die Funktion ist für alle Stellen ausser der Null diffbar, weil an allen anderen Stellen, die Approximationwerte x ganz im negativen oder ganz im positiven Bereich liegen.
Zunächst beweise dass die Funktion für jedes n, auf jeden Fall n-1 mal diffbar ist.
I.A.
n=1
f: [mm] \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur } x \le 0 \\ x, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}
[/mm]
ich möchte das jetzt nicht ausschreiben, aber der linksseitige und der rechtsseitige Limes gegen Null stimmen nicht überein. Also ist die Funkion 0 mal diffbar.
I.V. Die Behauptung gilt für ein n [mm] \in \IR
[/mm]
I.S. n [mm] \to [/mm] n+1
f: [mm] \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur } x \le 0 \\ x^{n+1}, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}
[/mm]
Also man zeigt dass die erste Ableitung existiert in dem man beide Grenzwerte vergleicht. Und die erste Ableitung ist ja eine Funktion des Grades n, und die ist nach I.V. n-1 mal ableitbar, also ist die Funktion selbst n-1+1=n mal ableitbar. Und sie ist ja vom Grad n+1, aslo gilt für sie die Behauptung.
So, jetzt schreibe ich die n+1 Ableitungen hin:
f'(x) = [mm] \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur }x\le 0 \\ nx^{n-1}, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}
[/mm]
f''(x) = [mm] \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur }x\le 0 \\ n(n-1)x^{n-2}, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}
[/mm]
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[mm] f^{n-1} [/mm] = [mm] \IR \to \IR\texttt{ mit }f(x)=\begin{cases} 0, & \texttt{f"ur }x\le 0 \\ n(n-1)*...* (n-n(-2)x^{n-(n-1)}, & \texttt{f"ur } x > 0 \end{cases}
[/mm]
Okay, und jetz Vergleiche ich den links und den rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten und stelle fest, dass sie abweichen.
Damit wäre doch bewiesen, dass die Funktion n-1 mal aber nicht n mal ableitbar ist, oder?
Gruss
wimath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Am Schluss wird es etwas chaotisch.  Es muss heißen:
$f^{(k)}(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & \mbox{für} \ x \le 0,\\[5pt] \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} & , & \mbox{für} \ x > 0 , \end{array}$
für $0 \le k \le n-1$, und insbesondere:
$f^{(n-1)}(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & , & \mbox{für} \ x \le 0,\\[5pt] n! \cdot x& , & \mbox{für} \ x > 0 , \end{array}$.
Man sieht, dass hier der links- und rechtsseitige Differentialquotient nicht übereinstimmen (sie sind $0$ bzw. $n!$).
Liebe Grüße
Julius
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