Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Die Funktion f: R²->R sei definiert durch [mm] f(x,y):=\begin{cases} xy \bruch{x²-y²}{x²+y²}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0)\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeige:
(i) f ist überall zweimal partiell differenzierbar.
(ii) berechne die gemischte Ableitungen im Nullpunkt
(iii) Ist f im Nullpunkt stetig? |
Guten Abend liebe mathe-freaks!
würde mich sehr freuen, wenn ihr mir bei dieser aufgabe weiterhelfen könntet!
für die partielle Ableitung bei (i) muss ich zeigen, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(y+h e_k) - f(y)}{h} [/mm] mit [mm] e_k= [/mm] kte Einheitsvektor und h aus R, h [mm] \not= [/mm] 0, existiert, oder?
aber das gibt doch dann voll den komplizierten ausdruck:
lim [mm] \bruch{f( \vektor{x \\ y}) + h e_k) - f(\vektor{x \\ y})}{h} [/mm] ???
(ii) die "gemischten Ableitungen" bedeutet doch, dass ich einmal nach x und einmal nach y ableite, oder? bzw wie oft muss ich das machen? und die reihenfolge ist egal?
was mich aber grad verwirrt, warum im Nullpunkt? dann müsste ich ja die Ableitung von "0" bilden?
oder ist damit gemeint, von der Funktion bei (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 und dann (0,0) einsetzen ??
hab das mal sp versucht:
[mm] (\bruch{x³y-xy³}{x²+y²})' [/mm] = [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{(x²+y²)(3x²y-x)-2x(x³y-xy³)}{(x²+y²)²}
[/mm]
(iii)
muss ich hier zeigen [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] f(x,y) = (0,0) oder?
nur wie mach ich das mit den 2 veränderlichen??? *verzweifel*
sorry für die vielen fragen!
gruß´riley
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:32 Sa 20.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Hallo Riley!
zu iii) das wird ein bischen Schreibarbeit und die will ich mir doch heute Abend sparen 
du betrachtes die Folgen [mm] (x_{n},0), [/mm] wobei [mm] x_{n} [/mm] einmal von links und einmal von rechts gegen Null strebt. Also zwei verschiedene Folgen.
Und du betrachtest genauso die Folgen [mm] (o,y_{n}) [/mm] mit [mm] y_{n} [/mm] geht mal von links (negative Zahlen) und mal von rechts (po. Zahlen) gegen 0.
weil dann jedes Folgenglied von Null verschieden ist, aber eine Variable =0 ist, müssten die Folgen wegen dem xy am Anfang gegen (0,0) streben das ist gleich f(o,0)l also ist f in (0,0) stetig.
zu ii) du hältst erstmal das y als Konstante fest und diffst nach x
das Ergebnis diffst du jetzt nach y und hältst das x fest.
dann diffst du das ursprüngliche f nach y bei festem x und dieses Ergebnis diffst du dann bei festen y nach x
ähmmmm das will ich jetzt auch nicht mehr, aber das ist leicht zu schaffen, denn weil ja das y eine Konstante ist, wenn du nach x diffst, ist das ja einfach die Quotientenregel.
du stellst jetzt insbesondere fest, dass [mm] d^{2}f/dxdy= d^{2}f/dydx
[/mm]
also dass die gemischten zweiten Ableitungen gleich sind und jetzt wird (0,0) eingesetzt.
i) hier weiß ich nicht, was du schon für Sätze kennst, aber Summen, Produkte und Quotienten (mit der üblichen Einschränkung "Nenner ungleich null") diffbarer Fkt. sind wieder diffbar. Du musst jetzt noch zeigen, analog zu iii) (oben), dass f und f´stetig in (0,0) ist denn das sind die einzig denkbaren Unstetigkeitsstellen also nimmst du dir die Folgen wie oben.
grüße c.t.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
HI c.t.!
vielen vielen dank für deine erklärungen!
also meinst du ich könnte bei der (iii) z.B. die Folgen ( [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ; 0) und (- [mm] \bruch{1}{n};0) [/mm] nehmen, darauf f loslassen und dann bekomm ich (0,0) raus ??
bei der (ii) wird das ja mega kompliziert mit dem 2.mal ableiten, aber im nenner hab ich ja dann [mm] (x²+y²)^4, [/mm] wenn ich da (0,0) einsetz, müsste ich ja durch 0 teilen...?
und bei der (i) kann ich die gleichen folgen wie oben nehmen? und setz die in die 2.ableitung?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 So 21.05.2006 | | Autor: | c.t. |
> HI c.t.!
> vielen vielen dank für deine erklärungen!
> also meinst du ich könnte bei der (iii) z.B. die Folgen (
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ; 0) und (- [mm]\bruch{1}{n};0)[/mm] nehmen, darauf f
> loslassen und dann bekomm ich (0,0) raus ??
genau so stell ich mir das vor und natürlich (0,1/n) und (0,-^/n)
> bei der (ii) wird das ja mega kompliziert mit dem 2.mal
> ableiten, aber im nenner hab ich ja dann [mm](x²+y²)^4,[/mm] wenn
> ich da (0,0) einsetz, müsste ich ja durch 0 teilen...?
das will ich kurz prüfen, da gebe ich gleich bescheid.
> und bei der (i) kann ich die gleichen folgen wie oben
> nehmen? und setz die in die 2.ableitung?
> sollte auch klappen
>
> viele grüße
> riley
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Hallo ct,
> zu iii) das wird ein bischen Schreibarbeit und die will ich
> mir doch heute Abend sparen
>
> du betrachtes die Folgen [mm](x_{n},0),[/mm] wobei [mm]x_{n}[/mm] einmal von
> links und einmal von rechts gegen Null strebt. Also zwei
> verschiedene Folgen.
> Und du betrachtest genauso die Folgen [mm](o,y_{n})[/mm] mit [mm]y_{n}[/mm]
> geht mal von links (negative Zahlen) und mal von rechts
> (po. Zahlen) gegen 0.
>
> weil dann jedes Folgenglied von Null verschieden ist, aber
> eine Variable =0 ist, müssten die Folgen wegen dem xy am
> Anfang gegen (0,0) streben das ist gleich f(o,0)l also ist
> f in (0,0) stetig.
Gegenbsp. zu diesem Vorgehen wäre z.B.
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^2+y^2}{x-y}, & \mbox{für } x-y\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x-y=0 \end{cases}
[/mm]
Nach Deiner Variante käme hier Stetigkeit im Nullpunkt raus. Man kann aber z.B. [mm] (x_n,y_n)=(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n+1}) [/mm] betrachten.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 23.05.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
danke für die verbesserung mathemaduenn.
muss ich jetzt bilden lim [mm] f(x_n,y_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \bruch{1}{n+1} \bruch{\bruch{1}{n²} - \bruch{1}{(n+1)²} }{ \bruch{1}{n²} + \bruch{1}{(n+1)²} } [/mm] und [mm] x_n,y_n [/mm] -> 0 ??
und wenn es stetig ist, müsste (0,0) rauskommen??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Du sollst hier keine konkrete Folge einsetzen. Egal welche Die Definition von stetigkeit über Folgen bietet sich an um zu zeigen das eine Funktion nicht stetig ist. Man muß dann nur eine entsprechende Folge finden.
Die vorliegende Funktion ist aber stetig. Dann würde ich versuchen die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition der Stetigkeit benutzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 So 21.05.2006 | | Autor: | c.t. |
ich gebe die Frage frei, denn bei ii) weiß ich gerade keine Lösung
schade, aber ich glaube da findet sich noch jemand
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
okay schade, aber trotzdem vielen dank für deine hilfe so weit!!!
gruß riley :)
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Hallo Riley,
zu i) für die 0 mußt Du den Differenzenquotienten ansetzen das mach ich mal für die Ableitung nach x:
[mm] \lim_{h \to 0}\bruch{(x_0+h)y_0 \bruch{(x_0+h)^2-y_0^2}{(x_0+h)^2+y_0^2}-f(x_0,y_0)}{h}
[/mm]
Jetzt den Punkt einsetzen [mm] (x_0,y_0)=(0,0)
[/mm]
[mm] \lim_{h \to 0}\bruch{(0+h)0 \bruch{(0+h)^2-0^2}{(0+h)^2+0^2}-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
Deine Ableitung nach x stimmt im Übrigen nicht. Hier ist einmal [mm] y^3 [/mm] verloren gegangen.
Für die gemischten Partiellen Ableitungen genau das Gleiche.
Zur Stetigkeit:
Hast Du Dir die [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition schonmal angeschaut?
Folgende Abschätzung ist sicher sinnvoll:
[mm] |\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}|<1
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
vielen vielen dank für deine hilfe!! die ableitungen muss ich nochmal nachrechnen, danke dass du den fehler gefunden hast...
ah, okay, d.h bei der abschätzung müsste dann gelten:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] |xy [mm] \bruch{x²-y²}{x²+y²}| [/mm] < 1 [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] |xy| = 1 * 0 = 0 = f(0,0) [mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit
hast du das so gemeint??
viele grüße
riley 
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Hallo Riley,
Eigentlich dachte ich an die "epsilon - delta" Definition der Stetigkeit. So ist das auch ok. aber nicht besonders schön. Habt ihr Stetigkeit nur über Folgen definiert?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi mathemaduenn!
hm, doch schon, aber ich weiß nie wie ich das mit epsilon und delta wirklich machen soll. also wir haben das wie folgt auch für Fkt definiert:
Eine Funktion f: [mm] D->R^m [/mm] heißt stetig im Punkt a aus D, wenn gilt:
lim f(x) = f(a) (für x->a), d.h.
wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt mit
|f(x) - f(a)| [mm] \le \epsilon [/mm] für alle x aus D geschnitten abgl Kugel [mm] K(a,\delta).
[/mm]
f heißt stetig wenn f in jedem Punkt a von D stetig ist.
Bem: Wird f durch Koordinatenfuktionen [mm] f_1,...f_m [/mm] gegeben, so ist f genau dann stetig, wenn alle [mm] f_i [/mm] stetig sind.
Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen Abbildungen un Funktionen?
viele grüße
Riley
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Hallo Riley,
Kurz gesagt man versucht delta auzurechnen.
Es soll gelten:
[mm]|xy*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}-0|<\epsilon[/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm]|xy|<\epsilon[/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm]|x^2+y^2|<\epsilon[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]\wurzel{x^2+y^2}<\wurzel{\epsilon}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]||(x,y)-(0,0)||_2<\wurzel{\epsilon}[/mm]
Also kann man [mm] \delta=\wurzel{\epsilon} [/mm] wählen.
> Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen Abbildungen
> un Funktionen?
Soweit ich weiß nein.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Do 01.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
cool danke für den lösungsweg, ist schon faszinierend. aber wie kommt man den auf solche abschätzungen??
warum folgt aus |xy| < [mm] \epsilon [/mm] dass [mm] |xy\cdot{}\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}-0|<\epsilon [/mm] ??
viele grüße
riley
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Hallo nochmal,
> warum folgt aus |xy| < [mm]\epsilon[/mm] dass
> [mm]|xy\cdot{}\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}-0|<\epsilon[/mm] ??
Weil
[mm] 1>|\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}|
[/mm]
[mm] |xy|>|xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}|
[/mm]
[mm] \epsilon [/mm] > [mm] |xy|>|xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}|
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi! :)
danke so ist mir der zwischenschritt klar!
viele grüße
riley
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