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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 So 18.06.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | | Begründe die Differnzierbarkeit und Nichtdifferenzierbarkeit und skizziere die Funktion: g(x):= {0 für x<0, x² für x>=0} |
wie soll ich diese Funktion skizzieren? Und wie funktioniert das mit dem differenzieren? Irgendwie verstehe ich auch nicht recht wie man diese Funktionsvorschrift liest.
Gruß
Lisalou
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Hi, Lisalou,
> Begründe die Differnzierbarkeit und
> Nichtdifferenzierbarkeit und skizziere die Funktion: g(x):=
> {0 für x<0, x² für x>=0}
> wie soll ich diese Funktion skizzieren? Und wie
> funktioniert das mit dem differenzieren? Irgendwie verstehe
> ich auch nicht recht wie man diese Funktionsvorschrift
> liest.
Man liest das am besten jeweils "von rechts nach links".
1.Teil: Für x < 0 (d.h. links vom Nullpunkt!) gilt: g(x) = 0.
Das ist die Gleichung der x-Achse.
Heißt: links vom Nullpunkt zeichnest Du einfach die x-Achse.
2.Teil: Für x [mm] \ge [/mm] 0 (rechts vom Nullpunkt, wobei dieser, also x=0 - dazugehört) gilt: g(x) = [mm] x^{2}. [/mm] Das ist die Gleichung der Normalparabel, aber weil sie nur rechts von 0 gezeichnet werden darf, ist's halt nur "die rechte Hälfte" davon.
Kannst Du doch sicher jetzt zeichnen, oder?
Nun zur Differenzierbarkeit.
Anschaulich heißt das:
Hat der Graph dort einen Knick? Dann ist die Funktion NICHT differenzierbar!
Oder verläuft er "glatt"? Dann ist die Funktion differenzierbar.
Rechnerisch gibt's zwei Wege, die Dbk nachzuweisen:
(1) mit Differenzenquotient. (blöde Methode!)
(2) erst Stetigkeit nachweisen (die ist hier trivial), dann Funktion ableiten und Grenzwert der Ableitung für x [mm] \to [/mm] 0 ermitteln.
Den letzten Teilschritt von (2) zeig' ich Dir kurz:
g'(x) = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x < 0 \\ 2x, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \limes_{x \rightarrow 0-}g'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0-}0 [/mm] = 0
[mm] \limes_{x \rightarrow 0+}g'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0+}2x [/mm] = 0
mfG!
Zwerglein
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