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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 26.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox x\le0 \\ cos x + x, & \mbox x>0 \end{cases} [/mm] |
Aufgabenstellung:
Wie oft ist die Funktion differenzierbar?
Habe leider keine Idee wie ich ran gehen soll, eigentlich ist doch [mm] e^x [/mm] und cosx unendlich differenzierbar oder nicht..?
vielen dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
bei [mm] e^x [/mm] würde ich das auch so sehen
f(x) = [mm] e^x [/mm] x [mm] \le [/mm] 0
ok,
wenn x=0 ist, ist f'(0)=1 -> f''(0)=0 weitere Ableitungen machen vermutlich wenig Sinn; aber sind natürlich möglich!
dasselbe gilt sicher auch für x<0, beliebig oft differenzierbar.
g(x)= (cos x) + x
g'(x)= -(sin x) + 1
g''(x)= -(cos x)
auch hier: ist die funktion beliebig oft differenzierbar, oder?!
gruß
wolfgang
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p.s. danke leduart. hinkucken hilft. es sind ja nicht zwei funktionen sondern eine, mit einer geteilten funktionsvorschrift.
wollte zuerst posten, dass differenzierbarkeit bedeutet, dass der links- und rechtsseitige grenzwert übereinstimmt. hätte... wollte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 26.04.2007 | | Autor: | colly |
Wie kommst du darauf???
f(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
f'(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
f''(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
f'''(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
Steht sogar im Tafelwerk.
Demnach ist f(x) = [mm] e^{x} [/mm] unendlich oft differenzierbar.
und g(x) = cos(x) + x ebenfalls wie du schon bemerkt hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Do 26.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
vielen dank, meine Vermutung lag also richtig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 26.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist eine stückweise definierte Funktion!
überall ausser in Null ist sie deshalb beliebig oft differenzierbar.
Aber bei 0 ist f' auf der linken Seite immer 1, auf der rechten Seite f(0)=1 f'(0)=1 f''(0)=-1 (-cos(0))
also stimmen die 2-ten Ableitungen von rechts und links nicht überein, die fkt ist bei x=0 also nur einmal differenzierbar!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 26.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
f''(0)=-1 (-cos(0)) ist doch auch gleich 1, oder nicht? somit wären sie ja noch gleich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
betrachten wir einmal nur den teil der funktion (im folgenden g(x)), der da lautet:
g(x) = cos(x) +x
ableitungen:
g ' (x)= -sin(x) +1
g '' (x)=-cos(x)
g '' (0) = -1 [mm] \ne [/mm] f '' (0)= 1
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Do 26.04.2007 | | Autor: | dbzworld |
alles klar, schon gesehen, danke!
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