Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 18.12.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Auf welchem Intervall ist die folgende Funktion definiert, wo ist sie Differenzierbar, und wie lautet jeweils ihre Ableitung:
f(x)= [mm] (x^{4}-1)*(x^{2}-1)^{-1}
[/mm]
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Man kann die Funktion folgendermaßen umformen: [mm] \bruch{(x^{4}-1)}{(x^{2}-1)}
[/mm]
Man erkennt, dass die Definitionsmenge [mm] D=\IR \{1;-1} [/mm] ist.
[mm] f'(x)=\bruch{4*x^{3}}{x^{2}-1}+\bruch{(x^{4}-1)*2*x}{(-1*(x^{2}-1)^{2})}
[/mm]
Man erkennt, dass bei der Betrachtung der Differenzierbarkeit die Stellen -1 und 1 markant sind. Man müsste sie nun auf Stetigkeit prüfen. Dazu lass ich den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] von links und [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1} [/mm] von rechts laufen. Bei beiden Stellen bekomme ich den Wert 2 heraus. Fazit: Die Funktion ist an der Stelle 1 stetig und somit differenzierbar. Das Gleiche gilt für die Stelle -1. Betrachte ich die Funktion jedoch im Taschenrechner, so zeigt es sich, dass an diesen Stellen keine Steigung zu bestimmen ist. Auch bei der Betrachtung der Ableitung fällt auf, dass das Einsetzen dieser beiden Werte eine 0 im Nenner zur Folge hätte und somit nicht definiert wäre. Trotz dessen differenzierbar. Handelt es sich hierbei um hebbare Definitionslücken, oder wie lässt sich das erklären?
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Hallo!
In der Tat hast du es hier mit einer hebbaren Lücke zu tun. Beachte: [mm] x^4-1=(x^2)^2-1=(x^2+1)(x^2-1) [/mm] Damit wird die Funktion zu einer gewöhnlichen Parabel mit zwei Lücken drin. Die Lücken in der Ableitung lassen sich daher ebenfalls beheben.
"Differenzierbar" kann eine Funktion natürlich nur auf ihrem Definitionsbereich sein, den du hier verlassen hast. Daher kommt dein auf den ersten Blick merkwürdiges Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Di 18.12.2007 | | Autor: | Owen |
Achso, ja dann ist alles klar, vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Di 18.12.2007 | | Autor: | Owen |
Eine Frage hätte ich doch noch. Du sagst, dass eine Funktion nur dort differenzierbar ist, wo sie auch definiert ist. Die Funktion ist aber an den Stellen -1 und 1 nicht diffeniert und trotzdem differenzierbar. Oder verstehe ich was falsch?
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>> nicht diffeniert
Ja, was den nun? :D
Also nochmal sauber: [mm] f'(x_0) [/mm] muß existieren, und gleich dem rechts- und linksseitigem Limes sein. Du hast also drei Dinge auf Gleichheit zu prüfen. Du hast nur die Limes ausgewertet.
In deinem Fall ist die Lücke in der Funktion und auch in der Ableitung hebbar, das muß aber nicht zwingend so sein.
Schau dir das hier an: [mm] f(x)=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x<0 \\ x+1, & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist nicht stetig. Die Ableitung ist stets =1, außer an der nicht definierten Stelle x=0. Diese Lücke darfst du aber nicht beheben, denn die Funktion selbst hat nen Sprung mit "unendlicher Steigung"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Owen |
Um also auf meine Aufgabe zurückzukommen: Die Funktion ist an den Stellen 1 und -1 stetig, aber [mm] f'(x_{0}) [/mm] existiert an den Stellen nicht, bzw. die Funktion ist generell dort nicht definiert. D.h., die Funktion ist an den Stellen trotz Stetigkeit nicht differenzierbar. Richtig?
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Nee, stetig ist sie nicht, sie hat doch Lücken.
Grundsätzlich hast du so ein Konstrukt:
[mm] \lim_{x \to x_0_-} A(x)=\lim_{x \to x_0_+} A(x)=A(x_0)
[/mm]
Setzt du für A die Funktion f ein, hast du das Kriterium für Stetigkeit.
Setzt du f' ein, hast du das Kriterium für Differenzierbarkeit.
Beides gibts bei [mm] $\pm [/mm] 1$ NICHT.
WEIL du die Lücken der Funktion aber beheben kannst, kannst du auch die Lücken der Ableitung beheben. Aber das ist zunächst ja nicht gefragt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Owen |
Ja, also ich habe die Bedingung [mm] \lim_{x \to x_0_-} A(x)=\lim_{x \to x_0_+} A(x)=A(x_0) [/mm] geprüft, indem ich einen Wert der etwas größer als 1 ist, und einen Wert, der etwas kleiner als 1 ist eingesetzt habe und bekomme für beide Limes den Wert 2 heraus. Dann ist die Bedingung doch erfüllt, sonst wären die Lücken doch gar nicht hebbar. Oder wann sind sie ansonsten hebbar?
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> Ja, also ich habe die Bedingung [mm]\lim_{x \to x_0_-} A(x)=\lim_{x \to x_0_+} A(x)=A(x_0)[/mm]
> geprüft,
Hallo,
ich gehe mal davon aus, daß Du mit A die Funktion f meinst, und daß [mm] x_0=1 [/mm] sein soll.
Wenn dem so ist, sieht es schlecht aus: Du kannst das nicht prüfen, denn f(1) ist ja gar nicht definiert...
Aber trotzdem tust Du etwas Sinnvolles: Du berechnest den Grenzwert an der Stelle 1 von unten und von oben, und Du stellst fest, daß er gleich ist, nämlich =2.
Daraus kannst Du schließen, daß die Definitionslücke bei [mm] x_0=1 [/mm] hebbar ist.
Ebensolches Procedere kannst Du mit demselben Ergebnis auch für die Stelle -1 durchführen.
Was bedeutet das nun?
Du kannst eine neue Funktion g: [mm] \IR\to \IR [/mm] \ \ definieren durch
[mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=1, -1 \mbox{ } \\ 2, & \mbox{für } x=1, -1 \mbox{ } \end{cases},
[/mm]
und diese neue(!) Funktion g ist eine stetige Funktion.
Ein Beispiel für eine Funktion mit einer nicht zu "stopfenden" Lücke hatte Dir Event_Horizon ja bereits genannt.
> indem ich einen Wert der etwas größer als 1 ist,
> und einen Wert, der etwas kleiner als 1 ist eingesetzt habe
> und bekomme für beide Limes den Wert 2 heraus.
Wie gesagt ist das Berechnen des linken und rechten Grenzwertes eine richtige Strategie.
Was Du schreibst, kling allerdings eher so, als hättest Du den Grenzwert anhand eines Beispiels erraten...
Gruß v. Angela
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> Um also auf meine Aufgabe zurückzukommen: Die Funktion
> ist an den Stellen 1 und -1 stetig,
Hallo,
nur nochmal zur Sicherheit:
Deine Funktion ist für [mm] \pm [/mm] 1 gar nicht definiert, und weil sie da nicht definiert ist, ist es völlig sinnlos, über Stetigkeit oder Diffbarkeit an diesen Stellen nachzudenken.
Wenn es einen interessiert, kann man darüber nachdenken, ob man die Lücken so "stopfen" kann, daß die dann entstehende neue(!!!) Funktion stetig ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Owen |
ok, jetzt scheint es für mich verständlich zu sein, danke
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