Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:42 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Für die Funktion
[mm] f(x,y)=\begin{cases} {\bruch{x^5}{x^4+y^4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}
[/mm]
zeige man:
(1) f ist partiell differenzierbar (bei allen (x,y) [mm] \in\IR^2)
[/mm]
(2) [mm] \burch{\delta f}{\delta x} [/mm] und [mm] \burch{\delta f}{\delta y} [/mm] sind unstetig bei (0,0)
(3) f ist nicht (vollständig) differenzierbar bei (0,0) |
kann ich bei (1) einfach Ableiten?
Also:
[mm] \burch{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] \bruch{5x^4(x^4+y^4)-x^5*4x^3}{(x^4+y^4)^2}
[/mm]
und:
[mm] \burch{\delta f}{\delta y} [/mm] = [mm] \bruch{-4 x^5}{y^5}
[/mm]
und aus der Existenz die Differenzierbarkeit einfach schließen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 21.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Für die Funktion
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} {\bruch{x^5}{x^4+y^4}}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
>
> zeige man:
> (1) f ist partiell differenzierbar (bei allen (x,y)
> [mm]\in\IR^2)[/mm]
> (2) [mm]\burch{\delta f}{\delta x}[/mm] und [mm]\burch{\delta f}{\delta y}[/mm]
> sind unstetig bei (0,0)
> (3) f ist nicht (vollständig) differenzierbar bei (0,0)
> kann ich bei (1) einfach Ableiten?
> Also:
> [mm]\burch{\delta f}{\delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{5x^4(x^4+y^4)-x^5*4x^3}{(x^4+y^4)^2}[/mm]
> und:
> [mm]\burch{\delta f}{\delta y}[/mm] = [mm]\bruch{-4 x^5}{y^5}[/mm]
>
> und aus der Existenz die Differenzierbarkeit einfach
> schließen?
Nicht ganz:
Die Ableitung [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}} [/mm] ist falsch.
Und du musst zeigen, dass auch f am Punkt (0/0) differenzierbar ist.
Zu 2) Zeig einfach, dass die beiden Ableitungen an P(0/0) nicht stetig sind
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
zu (1)
und wie mache ich das?
kann ich f im Punkt (0,0) nicht einfach als Polynom vom Grad 0 auffassen und dann einfach ableiten?
dann hätte ich ja auch die ableitung 0
und wie lautet die Patrielle Ableitung nach y dann? iwie stehe ich auf dem schlauch :-[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 22.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> zu (1)
> und wie mache ich das?
>
> kann ich f im Punkt (0,0) nicht einfach als Polynom vom
> Grad 0 auffassen und dann einfach ableiten?
> dann hätte ich ja auch die ableitung 0
Der Grenzwert muss mit dem Funktionswert in O(0/0) übereinstimmen.
>
> und wie lautet die Patrielle Ableitung nach y dann? iwie
> stehe ich auf dem schlauch :-[
>
Hier brauchst du die Quotientenregel.
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{5}}{x^{4}+y^{4}}
[/mm]
Jetzt mit der Quotientenregel ableiten.
[mm] \bruch{0(x^{4}+y^{4})-4x^{3}(x^{5})}{(x^{4}+y^{4})^{2}}
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 22.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Zerwas,
> zu (1)
> und wie mache ich das?
>
> kann ich f im Punkt (0,0) nicht einfach als Polynom vom
> Grad 0 auffassen und dann einfach ableiten?
> dann hätte ich ja auch die ableitung 0
also zunächst mal kann man für die Funktion in allen Punkten aus [mm] $\IR^2\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] ja einfach die partiellen Ableitungen einfach berechnen. Da hat man keine Probleme (Warum?).
An der Stelle [mm] $x_0=(0,0)$ [/mm] ist die Funktion ja "speziell" defininiert, es stellt sich also die Frage, ob an dieser Stelle die Grenzwerte (stets $h [mm] \in \IR\backslash\{0\}$)
[/mm]
(1) [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h*(1,0))-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)}{h}$
[/mm]
(wobei die letzte Gleichheit wegen [mm] $f(x_0)=f((0,0))=f(0,0)=0$ [/mm] gilt)
bzw.
(2) [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h*(0,1))-f(x_0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)}{h}$
[/mm]
existieren. Im Falle der Existenz ist dann (1) gerade [mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0)$ und (2) dann gerade
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0)$.
Und natürlich kannst Du auch z.B. bei (1) argumentieren:
Man setze für $h [mm] \not=0$ [/mm] dann
[mm] $g(h):=f((0,0)+h*(1,0))=f(h,0)=\frac{h^5}{h^4+0^4}=h$
[/mm]
Dann erkennst Du sofort, dass [mm] $g'(0)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1$ [/mm] gilt, und analog solltest Du erkennen, dass:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$
[/mm]
Damit ist Teil (1) eigentlich im Wesentlichen erledigt.
Zu Teil (2):
Wenn Du [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$, [/mm] jeweils für $(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)$, ausgerechnet hast, so sollte es Dir möglich sein:
(a) eine (erste) Folge [mm] $((x^{(1)}_n,y^{(1)}_n))_{n \in \IN}$ [/mm] im [mm] $\IR^2\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] mit [mm] $(x^{(1)}_n,y^{(1)}_n) \to [/mm] (0,0)$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] so anzugeben, dass [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x^{(1)}_n,y^{(1)}_n) \not\to 1=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.
[/mm]
(b) eine (zweite) Folge [mm] $((x^{(2)}_n,y^{(2)}_n))_{n \in \IN}$ [/mm] im [mm] $\IR^2\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] mit [mm] $(x^{(2)}_n,y^{(2)}_n) \to [/mm] (0,0)$ so anzugeben, dass [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x^{(2)}_n,y^{(2)}_n) \not\to 0=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$.
[/mm]
Bei Teil 3) bin ich gerade ein wenig überfragt. Vielleicht solltest Du einfach mal annehmen, die Funktion wäre bei $(0,0)$ total diff'bar. Dann kannst Du mittels der partiellen Ableitung bei $(0,0)$ ja die Jacobi-Matrix hinschreiben und damit irgendwie einen Widerspruch erzeugen...
Ich dachte erst, dass die Funktion bei $(0,0)$ vielleicht unstetig wäre, aber wenn [mm] $(0,0)\not=(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$, so gilt [mm] $\vmat{f(x_n,y_n)} \le \vmat{\frac{x_n^5}{x_n^4}} \le |x_n| \to [/mm] 0=f(0,0)$.
Die obige Funktion ist also stetig in $(0,0)$.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay Danke erstmal für die sehr ausführlichen Erläuterungen :)
Ich bekomme ja nur Probleme wenn der Nenner der partiellen Ableitungen (in diesem Fall also beide male [mm] (x^4+y^4)^2 [/mm] = 0 wird ... dies ist hier aber nur fall wenn x=y=0 also genau im Punkt (0,0).
Daher kann ich alle anderen Ableitungen berechnen.
Die nicht-Dicfferenzierbatkeit zeige ich dann also, indem ich versuche die Ableitungen im Punkt (0,0) zu bilden und zwar einmal von x-"Richtung" und einmal aus y-"Rchtung" oder?
Dann definiere ich mir eine Hilfsfunktion g(h)=f(h,0) [=f(0,h)] welche ich im Punkt h= 0 ableite und somit genau die Partielle Ableitung nach der entsprechenden Varialben erhalte.
Damit habe ich f in allen Punkten (a,b) [mm] \in\IR^2 [/mm] partiell differenziert.
Bei 2 nutze ich dann die Folgenstetigkeit.
Also suche ich mir Folgen welche gegen (0,0) konvergiert setze diese in [mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] bzw. [mm] \bruch{\delta f}{\delta y} [/mm] ein und stelle fest, dass die entstehende Folge nicht gegen den oben erkannten GW konvergiert oder?
Also konkret:
Ich nehme die Folge [mm] a_n={\bruch{1}{n}}
[/mm]
Setze [mm] (a_n, a_n) [/mm] in [mm] \bruch{\delta f}{\delta x}ein [/mm] und bilde dann [mm] \lim_{n\rightarrow 0}\bruch{ (\bruch{1}{n})^8+5(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8}{(\bruch{1}{n})^8+2(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8} [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] 1
Entsprechend erhalte ich bei [mm] \bruch{\delta f}{\delta y}:
[/mm]
[mm] \lim_{n\rightarrow 0}\bruch{ -5(\bruch{1}{n})^5 (\bruch{1}{n})^3}{(\bruch{1}{n})^8+2(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{3} \not= [/mm] 0
Daher sind die partiellen Ableitungen in (0,0) unstetig.
Korrekt?
Zu drei habe ich einen Satz im Script entdeckt welcher besagt:
Sei [mm] U\subset \IR^n [/mm] offen und [mm] f:U\rightarrow\IR [/mm] eine in U partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen Ableitungen [mm] D_k [/mm] f seien im Punkt [mm] x\in [/mm] U stetig, dann ist f in x total differenzierbar.
Kann ich den dann nicht einfach umdrehn und sagen wenn nicht dann nicht?
Danke und Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Do 24.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay Danke erstmal für die sehr ausführlichen Erläuterungen
> :)
>
> Ich bekomme ja nur Probleme wenn der Nenner der partiellen
> Ableitungen (in diesem Fall also beide male [mm](x^4+y^4)^2[/mm] = 0
> wird ... dies ist hier aber nur fall wenn x=y=0 also genau
> im Punkt (0,0).
> Daher kann ich alle anderen Ableitungen berechnen.
Jein, im Prinzip ist dann die Frage, warum man keine Probleme hat, wenn der Nenner nicht verschwindet. Ich will einfach nur kurz darauf aufmerksam machen, dass Du ja sowas wie Kettenregel, Quotientenregel etc. für Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] gelernt hast, und z.B. kann man hier die Quotientenregel anwenden, wenn der Nenner nicht verschwindet (wenn er verschwindet, das hast Du korrekt erkannt, hat man ein Problem, wenn man die Quotientenregel anwenden will; siehe Voraussetzungen in der Quotientenregel). Und wenn man z.B. partiell nach $x$ ableitet, dann betrachtet man dann $y$ als fest und leitet die Funktion als Funktion in der Variablen $x$ ab, in diesem Sinne ist die partielle Ableitung nach $x$ hier eigentlich sowas wie die Ableitung einer Funktion [mm] $\IR \to \IR$. [/mm] So etwas oder etwas in der Art solltest Du mal gelernt haben; und so hast Du ja auch [mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y)$ für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$ [/mm] im ersten Post berechnet.
> Die nicht-Dicfferenzierbatkeit zeige ich dann also, indem
> ich versuche die Ableitungen im Punkt (0,0) zu bilden und
> zwar einmal von x-"Richtung" und einmal aus y-"Rchtung"
> oder?
Das verstehe ich nicht. Schau mal nach, wie die Differenzierbarkeit einer Funktion mehrerer Veränderlichen definiert ist. Da steht etwas von der Existenz einer Matrix.
Die partiellen Ableitungen bildest Du, indem Du einmal in $x$-Richtung ableitest (genauer heißt das: die Richtungsableitung mit dem Vektor $(1,0)$ bilden) und analog für $y$. Hierbei muss keinesweg [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ [/mm] gelten, damit $f$ an $(0,0)$ differenzierbar ist. Es ist wichtig, dass Du Dir klarmachst, dass die totale Ableitung etwas ganz anderes ist als "Richtungsableitungen". Partielle Ableitungen selbst sind in der Tat nichts anderes als spezielle Richtungsableitungen. Aber wenn eine Funktion total differenzierbar ist an der Stelle [mm] $x_0$, [/mm] dann existieren in [mm] $x_0$ [/mm] insbesondere die partiellen Ableitungen und es gibt einen Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen und der Jacobi-Matrix; ich habe das Gefühl, dass Du Dir die Definition der totalen Ableitung noch nicht wirklich angeguckt hast, oder Du hast sie noch nicht ganz verstanden. Und alleine die Existenz der partiellen Ableitungen an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] sichert noch nicht die totale Differenzierbarkeit, dann kann man nur sagen: Wenn die Funktion nun total differenzierbar ist, dann kommt nur die Jacobi-Matrix ausgewertet an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] in Frage...
Was ich oben gemacht habe:
Einmal habe ich Dir gezeigt, wie Du rechnerisch die Existenz von [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ [/mm] begründen kannst, und zudem versucht, Dir klarzumachen, warum die partiellen Ableitungen [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] beide nicht stetig an $(0,0)$ sind.
> Dann definiere ich mir eine Hilfsfunktion g(h)=f(h,0)
> [=f(0,h)] welche ich im Punkt h= 0 ableite und somit genau
> die Partielle Ableitung nach der entsprechenden Varialben
> erhalte.
Das muss man nicht mit dieser Hilfsfunktion machen, ich habe es getan, weil ich hoffe, dass es Dir hilft, klarzuwerden, wie hier [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] berechnet wird.
Wenn Du mal in Aussagen zur Jacobi-Matrix und den Zusammenhang zu den partiellen Ableitungen reinguckst, so wird Dir dort sicherlich ähnliches (oder ggf. in den zugehörigen Beweisen) begegnen...
Ich würde Dir empfehlen, die Beweise wenigstens mal stichwortartig durchzugehen, denn ich habe hier ein wenig das Gefühl, dass Dir auch manche Definitionen bzw. Begriffe noch nicht ganz klar sind...
> Damit habe ich f in allen Punkten (a,b) [mm]\in\IR^2[/mm] partiell
> differenziert.
Ja, man kann die partiellen Ableitungen in allen $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] quasi mit einfachen Rechenregeln für diff'bare Funktionen begründen, an der Stelle $(0,0)$ haben wir die Existenz und den Wert der (jeweiligen) partiellen Ableitung dann "per Definitionem" nachgerechnet...
> Bei 2 nutze ich dann die Folgenstetigkeit.
> Also suche ich mir Folgen welche gegen (0,0) konvergiert
> setze diese in [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}[/mm] ein und stelle fest, dass die
> entstehende Folge nicht gegen den oben erkannten GW
> konvergiert oder?
>
> Also konkret:
> Ich nehme die Folge [mm]a_n={\bruch{1}{n}}[/mm]
> Setze [mm](a_n, a_n)[/mm] in [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}ein[/mm] und
> bilde dann [mm]\lim_{n\rightarrow 0}\bruch{ (\bruch{1}{n})^8+5(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8}{(\bruch{1}{n})^8+2(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8}[/mm]
> = 2 [mm]\not=[/mm] 1
Ähm, ja, die Idee ist korrekt. Nur Deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen, Du hattest doch für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$ [/mm] berechnet:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= \bruch{5x^4(x^4+y^4)-x^5\cdot{}4x^3}{(x^4+y^4)^2}$
[/mm]
Und wenn ich dort [mm] $x=y=\frac{1}{n}$ [/mm] einsetze, erhalte ich
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\frac{3}{2} \to \frac{3}{2}\not=1$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Nur so als Anmerkung: Es gilt [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) [mm] \gdw$ [/mm]
[mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to [/mm] 0$
Dass man hier [mm] $x_n=y_n$ [/mm] mit [mm] $x_n=\frac{1}{n}$ [/mm] als Nullfolge wählen kann, ist besonders "schön".
Also Du könntest hier auch z.B. [mm] $x_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $y_n=\frac{\pi}{n}$ [/mm] also Nullfolgen wählen. Es geht mir nur darum, dass Du nicht denkst, dass, wenn [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$, dass dann [mm] $x_n=y_n$ [/mm] gelten müsste...
> Entsprechend erhalte ich bei [mm]\bruch{\delta f}{\delta y}:[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow 0}\bruch{ -5(\bruch{1}{n})^5 (\bruch{1}{n})^3}{(\bruch{1}{n})^8+2(\bruch{1}{n})^4 (\bruch{1}{n})^4 + (\bruch{1}{n})^8}[/mm]
> = [mm]-\bruch{4}{3} \not=[/mm] 0
>
> Daher sind die partiellen Ableitungen in (0,0) unstetig.
Also da muss ich zunächst die partielle Ableitung von M.Rex zu
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{-4y^3x^5}{(x^4+y^4)^2}$
[/mm]
korrigieren.
Er hat das mit der Quotientenregel berechnet, und ich hoffe, dass Dir das Prinzip klar ist:
Betrachte [mm] $g(y):=\frac{x^5}{x^4+y^4}$ [/mm] für festes $x$ und berechne $g'(y)$... (dabei ist halt zu beachten, dass $x=y=0$ nicht gelten soll, d.h. diese Vorgehensweise geht hier für [mm] $(x,y)\not=(0,0)$).
[/mm]
Und wenn Du nun [mm] $x=y=\frac{1}{n}$ [/mm] wählst (beachte, dass [mm] $(0,0)\not=(\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \to [/mm] (0,0)$), so solltest Du als Limes dann [mm] $\frac{-4}{2^2}=-1 \not=0=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ [/mm] erhalten, womit [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] nicht stetig in $(0,0)$ sein kann.
> Korrekt?
Von der Idee her ja, von der Rechnung: Entweder rechne ich total falsch, oder Du 
> Zu drei habe ich einen Satz im Script entdeckt welcher
> besagt:
> Sei [mm]U\subset \IR^n[/mm] offen und [mm]f:U\rightarrow\IR[/mm] eine in U
> partiell differenzierbare Funktion. Alle partiellen
> Ableitungen [mm]D_k[/mm] f seien im Punkt [mm]x\in[/mm] U stetig, dann ist f
> in x total differenzierbar.
>
> Kann ich den dann nicht einfach umdrehn und sagen wenn
> nicht dann nicht?
Nein, Du kannst nicht daraus schließen, dass eine (oder gar beide) partielle Ableitungen in $(0,0)$ unstetig sind, dass dann auch $f$ nicht total differenzierbar ist.
Denn der obige Satz sagt, dass die Stetigkeit "HINREICHEND" ist für die totale Differenzierbarkeit.
Wenn Du eine Folgerung hast $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ (wobei dann $A$ hinreichend für $B$ heißt, sowie $B$ notwendig für $A$ heißt, was in dem Sinne zu verstehen ist:
Um die Gültigkeit von $B$ einzusehen, reicht es aus, zu wissen, dass $A$ gilt!),
so ist das NICHT das gleiche wie
[mm] "$\mbox{nicht }A \Rightarrow \mbox{nicht} [/mm] B$". Wenn das so wäre, dann wäre das schön, denn es gilt die Äquivalenz
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
[mm] $\gdw (\mbox{nicht }B \Rightarrow \mbox{nicht }A)$ [/mm] (Kontraposition)
und wenn etwas, was hinreichend ist, auch notwendig wäre, so bräuchte man bei Äquivalenzbeweisen dann nur eine Richtung zu zeigen.
Also:
Du hast oben die Folgerung (in Kurzform):
Alle partiellen Ableitungen stetig im Punkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f$ total diff'bar in dem Punkt.
(Also $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$.)
Du kannst nun hingehen, und die Kontraposition [mm] ($\mbox{nicht }B \Rightarrow \mbox{nicht }A$) [/mm] bilden, die ist äquivalent zu der obigen Aussage:
$f$ nicht total diff'bar in dem Punkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gilt nicht, dass ALLE partiellen Ableitungen in dem Punkt stetig sind
bzw.
$f$ nicht total diff'bar in dem Punkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es existiert (mindestens) eine partielle Ableitungen, die in dem Punkt nicht stetig ist
Diese Aussagen sagen aber immer nur, dass es hinreichend für die totale Differenzierbarkeit in dem Punkt ist, dass die partiellen Ableitungen dort stetig sind. Es ist aber nicht notwendig für die totale Differenzierbarkeit...
Also der Satz hilft Dir hier leider nicht.
P.S.:
Ich hoffe, Dich verwirrt der Begriff der Jacobi-Matrix hier noch nicht. Ich verwende diesen Begriff, weil ich den Gradienten als spezielle Jacobi-Matrix auffasse (was er ja auch ist)...
Gruß,
Marcel
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