Differenzierbarkeit!? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Do 24.01.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Definition:
(1) Eine Funktion f heißt an einer Stelle x im Inneren ihres Definitionsbereichs differenzierbar, wenn der Differenzenquotient bezüglich x einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt und wenn beide Grenzwerte gleich sind.
(2) Eine Funktion f heißt im abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle [mm] $x\in [/mm] ]a, b[$ differenzierbar ist und wenn der Differenzenquotient bezüglich der Stelle $x=a$ einen rechtseitigen bzw. bezüglich der Stelle $x=b$ einen linksseitigen Grenzwert besitzt. |
Hallo,
diese beiden Definitionen habe in meinen Büchern gefunden. Meiner Meinung nach widersprechen sie sich, denn in (1) ist geregelt, dass man immer den Limes von links und von rechts an eine Stelle x bilden können muss, damit die Funktion dort differenzierbar ist. In (2) hingegen reicht für die Randwerte des Intervalls $[a, b]$ plötzlich nur noch ein Grenzwert.
Was meint Ihr dazu?
Vielen Dank für Eure Hilfe, ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
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Hallo,
in (1) ist vom Inneren des Definitionsbereiches die Rede.
Das Innere des Definitionsbereiches ist in (2) das offene Intervall ]a,b[. Du hast ja selbst "Rand" gesagt. a,b sind nicht im Inneren, sondern auf dem Rand des Intervalls.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Do 24.01.2008 | | Autor: | MasterEd |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Verstehe ich das richtig: In Definition (1) steht nicht, dass eine Funktion am Rand ihres Definitionsbereichs nicht differenzierbar ist, da steht nur, wie die Differenzierbarkeit im Inneren geregelt ist?
Könnte man dann für die Differenzierbarkeit am Rand sagen, dass sie vorhanden ist, wenn es nur den einseitigen Grenzwert gibt? Also so wie es in (2) steht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Do 24.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Verstehe ich das richtig: In Definition (1) steht nicht,
> dass eine Funktion am Rand ihres Definitionsbereichs nicht
> differenzierbar ist, da steht nur, wie die
> Differenzierbarkeit im Inneren geregelt ist?
genau. In (1) wird nur eine Aussage für das Innere des Definitionsbereiches getroffen.
> Könnte man dann für die Differenzierbarkeit am Rand sagen,
> dass sie vorhanden ist, wenn es nur den einseitigen
> Grenzwert gibt? Also so wie es in (2) steht?
I.a. nicht. Ich meine, betrachte einfach mal die folgende disjunkte Vereinigung:
[mm] $D:=\{\frac{1}{n}, n \in \IN \} \cup \{-\frac{1}{n}, n \in \IN \} \cup \{0\}$
[/mm]
Dann definiere
$f: D [mm] \to \IR$ [/mm] durch
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x=\frac{1}{n} \mbox{ mit einem }n \in \IN\\ -2x, & \mbox{für } x=-\frac{1}{n} \mbox{ mit einem }n \in \IN\\0, & \mbox{für }x=0 \end{cases}$
[/mm]
$0$ ist ein Randpunkt (genauer gesagt: Es ist sogar [mm] $D=\partial [/mm] D$, also $D$ besteht nur aus Randpunkten), wichtiger ist aber:
$0$ ist der einzige Häufungspunkt von $D$.
An diesem Randpunkt, also an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] gilt:
Der rechtsseitige Limes existiert und hat den Wert $1$, der linksseitige existiert und hat den Wert $-2$.
Dabei sollte ich vielleicht dazusagen, dass ich hier eine allgemeinere Definition der Differenzierbarkeit zugrundelege, als Du sie vielleicht kennst. Ich benutze nämlich diese Definition:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Definition 13.1
Bei Euch geht es vermutlich "nur" um Funktionen $D [mm] \to \IR$ [/mm] mit $D [mm] \subseteq \IR$. [/mm] Bei [mm] $D:=\{\frac{1}{n}, n \in \IN \} \cup \{-\frac{1}{n}, n \in \IN \} \cup \{0\}$ [/mm] macht es dann aber keinen Sinn, von der Differenzierbarkeit im Inneren zu sprechen, denn das Innere von $D$ ist leer. Und dieses $D$ hat genau einen Randpunkt, der auch Häufungspunkt ist, nämlich $0$, und an der Stelle ist z.B. obiges $f$ nicht differenzierbar, obwohl die beiden einseitigen Ableitungen existieren.
(Anmerkung:
Alle Stellen [mm] $x_0 \in \{\pm \frac{1}{n}, n \in \IN\}$ [/mm] sind KEINE Häufungspunkte von $D$, daher macht es auch mit der obigen Definition 13.1 dann keinen Sinn, die Funktion dort auf Differenzierbarkeit zu untersuchen.)
Mit Eurer Definition ist es also eigentlich noch gar nicht möglich, meine obige Funktion auf Differenzierbarkeit an der Stelle $0$ zu prüfen.
Wenn Du oben allerdings z.B. nur so etwas meinst:
$f$ sei auf:
(1) $[a,b)$
(2) $(a,b]$
(3) $[a,b]$
definiert, dann kannst Du durchaus sagen, dass:
bei (1): die Differenzierbarkeit in der Stelle a dann die rechtsseitige ist
bei (2): die Differenzierbarkeit in der Stelle b dann die linksseitige ist
bei (3): in der Stelle a die rechtssseitige und in der Stelle b die linkssseitige ist
Nur macht es z.B. bei (1) auch keinen Sinn, von Differenzierbarkeit in der Stelle $b$ zu sprechen, da die Funktion dort nicht definiert ist. Man könnte sich höchstens fragen, ob man die Funktion an der Stelle $b$ differenzierbar fortsetzen könnte. Dazu müßte man sie erstmal dort stetig fortsetzen können und dann die Differenzierbarkeit prüfen.
Gruß,
Marcel
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