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Die Definition von der Differenzierbarkeit lautet so:
Die Funktion f ist an der Stelle x=x0 differenzierbar, wenn
(1) F(x) in einer Umgebung von x0 definiert ist und
(2) der Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow\0} [/mm] (f(x0+h)-f(x0))/h existiert.
Ok.. gut soweit. Wie kann ich das nun veranschaulichen? Ich meine.. Punkt eins ist klar. Wenn wir zum Beispiel ne undefinierte Stelle x0 haben ist die Funktion differenzierbar wenn alle anderen Stellen definiert sind (der Funktion). Aber.. können dann auch stetige Funktionen differenzierbar sein? Ich mein, die sind ja auch in der Umgebung von x0 definiert!.. Hmm.. komisch..
Und der Zweite Punkt?.. Wenn man h gegen null laufen lässt, darf mach doch gar nicht mehr teilen.. hmm.. merkwürdig.. dann wärs doch eh.. null... Das verstehe ich irgendwie nicht.
Kann mir das jemand genauer erklären?
Liebe Grüße und Danke im Vorraus! Melli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 04.02.2008 | | Autor: | abakus |
Der Grenzwert existiert, wenn für JEDE gegen [mm] x_0 [/mm] konvergierende Folge [mm] (x_n) [/mm] die Folge der zugehörigen Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] DEN SELBEN Grenzwert hat. Ein Gegenbeispiel ist z.B.eine Funktion mit zweigeteilter Berechnungsvorschrift, z.B.
[mm]f(x)=\begin{cases} 2x+1 falls x {\le 0, \\ 3x+1 falls x >0 \end{cases}[/mm]
Diese Funktion ist an der Stelle Null sogar stetig, aber der linksseitige Grenzwert ist 2 und der rechtsseitige Grenzwert ist 3. (Es konvergieren also nicht alle Folgen gegen den selben Grenzwert). Damit kann der Stelle x=0 kein eindeutiger Anstieg zugeordnet werden.
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Hmm.. Das verstehe ich irgendwie noch nicht so ganz.. Also.. Wenn die Grenzwerte "rechts" und "links" von x0 gleich sind, ist die Funktion differenzierbar?
Und Eine Funktion kann differenzierbar sein, auch wenn die Stelle x0 stetig ist? Ist aber dann nicht stetig, weil zum Beispiel Grenzwert und Funktionswert unterschiedlich sind? Geht das auch wenn x0 nicht definiert ist?... öööhm.. Fragen über Fragen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 04.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
entweder hast du dich verschrieben, oder da steht was völlig falsches!
1. an einer Stelle, an der eine Funktion nicht definiert ist, gibt es auch keine Ableitung. du kannst ja nicht mal [mm] f(x_0+h)-f(x_0) [/mm] hinschreiben, wenn es [mm] f(x_0) [/mm] gar nicht gibt.
2. wenn eine Funktion unstetig an einer Stelle ist, ist sie dort auch sicher nicht differenzierbar.
3. also muss man nur stetige Funktionen auf Differenzierbarkeit untersuchen.
ein Beispiel einer stetigen funktion, die nicht differenzierbar ist ist z. Bsp. die Funktion f(x)=|x| die hat bei x=0 eine Spitze, d.h. wenn man alle Steigungen links von 0 ansieht sind die alle -1, rechts von 0 alle +1, also bei 0 ?? Folge: nicht differenzierbar.
eine andere stetige fkt die nicht differenzierbar ist ist x*sin(1/x) die ist auch bei 0 stetig wenn man f(0)=0 setzt, aber die Steigungen gehen in der nähe von 0 wild zwischen -1 und +1 hin und her, wieder kein GW.
auch Stellen wo die Tangente anschaulich senkrecht wäre haben da keine ableitung.
Das sollte auch deine andere Frage beantworten.
[mm] (f(x_0+h)-f(x_0))/h [/mm] solltest du dir als steigung der Sehne zwischen der Stelle [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h [/mm] vorstellen (oder auch mal zeichnen, solange h nicht 0 ist.
Dabei darf h negative und positive Werte annehmen. wenn es für alle negativen Werte von h und alle positiven Werte von h denselben GW gibt sagt man der linksseitige und der rechtsseitige GW sind gleich, das ist bei "braven" funktionen wie [mm] f=x^2 [/mm] etwa überall der Fall. bei f=|x| bei 0 eben nicht.
gruss leduart
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