Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich versuche gerade einen Beweis eines Lemmas zu verstehen, welches später für die Beweisführung der Kettenregel benutzt wird.
Leider habe ich bei einigen Stellen nicht den 100%igen Durchblick und hoffe, dass mir jemand bei meinen Fragen helfen kann!
LEMMA :
Sei U offen in [mm] \mathbb R^n [/mm], [mm] f: U \to \mathbb R^m [/mm] und [mm] x \in U [/mm].
Es gebe eine reelle m x n - Matrix A mit
[mm] \limes_{\xi \to 0} \bruch{1}{ \| \xi \| } ( f(x + \xi ) - f (x) - A \xi ) = 0 [/mm]
Dann ist f an der Stelle x differenzierbar mit Df(x) = A
( 1. Frage :
Ist mit dieser Differenzierbarkeit die (totale) Differenzierbarkeit gemeint? )
Beweis :
Wir müssen nur zeigen: f partiell differenzierbar an der Stelle x mit Df(x) = A.
( Zwischenfrage :
Warum genügt es nur die partielle Differenzierbarkeit das zu zeigen ? )
Dazu können wir o.B. d. A annehmen, dass m = 1, also [mm] A = ( a_1, ... , a_n ) [/mm] mit [mm] a_j \in \mathbb R [/mm]
( Zwischenfrage:
Warum genügt auch diese Annahme ? )
Betrachte die Funktionen [mm] [mm] F_i [/mm] (t) := f ( [mm] x_1, [/mm] ... , [mm] x_{i-1}, [/mm] t , [mm] x_{i+1}, [/mm] ... [mm] ,x_n [/mm] ).
Zu zeigen: [mm] F_i [/mm] ist an der Stelle [mm] x_i [/mm] differenzierbar mit [mm] F_i ' ( x_i ) = a_i [/mm], also
[mm] \limes_{h \to 0 } \bruch{ F_i (x_i + h ) - F_i (x_i) }{h} = a_i [/mm]
Sei o.B.d.A. h > 0.
Sei [mm] e_1=(1, 0,0, ...., 0 ), e_2 =(0,1,0,0, ..., 0 ), ... , e_n =(0,0,0,. ..., 1) [/mm] die übliche BAsis vom [mm] \mathbb R^n [/mm].
[mm] \bruch{1}{h} ( F_i ( x_i +h ) - F_i (x_i ) ) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{h} ( f(x_1, x_2, ..., x_{i-1}, x_i + h , x_{i +1 }, ..., x_n ) - f(x) ) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{h} ( f( x + h e_i ) - f(x) ) [/mm] (** )
[mm] = \bruch{1}{h} ( f( x + h e_i ) - f(x) - A \cdot (h e_i ) ) + A \cdot e_i [/mm]
[mm] = \bruch{1}{\|h e_i \| } ( f( x + h e_i ) - f(x) - A \cdot (h e_i ) ) + a_i \rightarrow a_i [/mm] für [mm] h \to 0 [/mm].
( Zwischenfrage :
Wie kommt man auf die Zeile (** ) ? )
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 25.04.2008 | | Autor: | konvex |
also bei dem (**) kann ich helfen:
[mm] f(x_1, x_2, [/mm] ..., [mm] x_{i-1}, x_i [/mm] + [mm] h,x_{i +1 }, ...,x_n) [/mm] , dh.
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n}} [/mm] + h [mm] \vektor{0 \\...\\0\\1\\0\\...\\ 0} [/mm] mit der 1 an der i-ten Stelle also ist das [mm] e_{i}
[/mm]
und damit bekommst du doch [mm] f(x+he_i) [/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:58 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Erstmal vielen Dank für dei Beantwortung der einen Frage!
Leider weiß ich immernoch nicht, warum es reicht nur die partielle Differnzierbarkeit zu zeigen :-(.
Hoffe, dass mir da noch jemand helfen kann!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 So 04.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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