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Differenzierbarkeit: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 31.01.2005
Autor: KingMob

Hi !
Kann mir bitte jemand bei diesem Beweis hier behilflich sein :
"Sei f : ]a,b[ [mm] \to \IR [/mm] in xo [mm] \in [/mm] ]a,b[ differenzierbar. Man zeige, dass es eine Konstante K [mm] \in {\IR}_{+} [/mm] und ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, so dass für alle x [mm] \in [/mm] ]a,b[ [mm] \cap [/mm] ] xo - [mm] \delta [/mm] , xo + [mm] \delta [/mm] [ stets | f(x) - f(xo) | < K * | x - xo | gilt."
Bin für jeden Ansatz dankbar!

        
Bezug
Differenzierbarkeit: Differenzenquotient
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 01.02.2005
Autor: Gnometech

Guten Morgen!

Zunächst mal soll es mit Sicherheit folgendermaßen aussehen:

$|f(x) - [mm] f(x_0)| \leq [/mm] K [mm] \cdot [/mm] |x - [mm] x_0|$ [/mm]

Denn "echt kleiner" kann man für $x = [mm] x_0$ [/mm] schlecht zeigen, da sind beide Seiten gleich 0. ;-)

Zur eigentlichen Aufgabe: was bedeutet Differenzierbarkeit im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] anschaulich? Das heißt doch, dass für jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] aus $]a,b[$ mit [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n [/mm] = [mm] x_0$ [/mm] gilt:

[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ [/mm] existiert und ist unabhängig von der Wahl der Folge.

Der Grenzwert wird dann [mm] $f'(x_0)$, [/mm] der Wert der Ableitung im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] getauft.

Wenn Du jetzt diesen Quotienten umformst bist Du schon fast bei der Form wie im Beweis. :-) Das einzige Problem ist noch, dass Du keine Kontrolle darüber hast, wie die Folgen aussehen, also fällt es schwer, ein [mm] $\delta$ [/mm] zu wählen, das für alle Folgen zugleich gilt.

Hier hilft aber ein simpler Trick: beweise die Aussage mit Widerspruch! Nimm an, dass die Aussage nicht gilt, dann findest Du für jedes [mm] $\delta$ [/mm] in dem angegebenen Intervall einen Wert $y$, für den die Ungleichung nicht gilt. Für fallendes [mm] $\delta$ [/mm] kannst Du so eine Folge konstruieren, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] läuft, aber für die der Differenzenquotient nicht die gewünschten Eigenschaften hat...

Viel Erfolg!

Lars

Bezug
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