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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
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Hallo,
habe obige Aufgabe gegeben. Den Differenzenquotienten aus der alten Übung habe ich noch angehängt.
Die Jakobi-Matrix an der Stelle (0,0) ist doch auch einfach (0,0) oder nicht?
Dann würde ich für mein r(h) rausbekommen:
r(h)= [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)-Ah}{\parallel h \parallel}
[/mm]
= [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{\parallel h \parallel}
[/mm]
= [mm] \bruch{f(h)}{\parallel h \parallel}
[/mm]
oder nicht? Und das geht doch gegen 0. Wo ist mein Fehler?
ciao, Mike.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
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> habe obige Aufgabe gegeben. Den Differenzenquotienten aus
> der alten Übung habe ich noch angehängt.
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> Die Jakobi-Matrix an der Stelle (0,0) ist doch auch einfach
> (0,0) oder nicht?
>
> Dann würde ich für mein r(h) rausbekommen:
>
> r(h)= [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)-Ah}{\parallel h \parallel}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{f(h)-f(0)}{\parallel h \parallel}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{f(h)}{\parallel h \parallel}[/mm]
>
> oder nicht? Und das geht doch gegen 0.
> Wo ist mein Fehler?
Darin zu glauben, dass schon daraus, dass der Zähler eines Bruches für [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ gegen $0$ geht, schon folgt, dass der ganze Bruch gegen $0$ geht. Denn: der Nenner geht ja auch gegen 0.
Wenn Du zum Beispiel $h$ in der Form $h := [mm] (\rho \cos(\phi),\rho \sin(\phi))$ [/mm] schreibst, kannst Du leicht erkennen, weshalb der Grenzwert des Bruches für [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ nicht notwendigerweise $0$ sein muss:
[mm]\frac{f(h)}{\parallel h\parallel}=\frac{\frac{\rho^2\cos^2(\phi)\cdot \rho\sin(\phi)}{\rho^2}}{\rho}=\cos^2(\phi)\cdot\sin(\phi)[/mm]
Hier ist es doch ein Leichtes, einen Wert von [mm] $\phi$ [/mm] zu finden, für den der Limes dieses Terms für [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ nicht gleich $0$ ist: wenn man sich also der Stelle $(0,0)$ nicht auf einer der beiden Koordinatenachsen [mm] ($\phi=n\cdot \frac{\pi}{2}, n\in\IZ$) [/mm] sondern aus einem anderen Winkel [mm] $\phi$ [/mm] nähert, geht $r(h)$ für [mm] $h\rightarrow [/mm] (0,0)$ nicht gegen 0.
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Danke, das mit dem Limes hätte mir auffallen können. War ich wohl mal wieder etwas voreilig.
Auf die Idee mit dem sinus/cosinus muss man aber auch erst mal kommen ^^
danke..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Danke, das mit dem Limes hätte mir auffallen können. War
> ich wohl mal wieder etwas voreilig.
>
> Auf die Idee mit dem sinus/cosinus muss man aber auch erst
> mal kommen ^^
zugegeben, aber diese Idee ist so exotisch auch wieder nicht: denn durch Verwenden von Polarkoordinaten kann man die "Richtungsableitung" an der fraglichen Stelle $(0,0)$ durch konstant halten von [mm] $\phi$ [/mm] und gegen $0$ gehen lassen von $r$ untersuchen. Die partiellen Ableitungen nach $x$ bzw. $y$ sind einfach Spezialfälle davon: für [mm] $\phi=0$ [/mm] bzw. [mm] $\phi=\pi/2$.
[/mm]
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