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Hallo. Ich habe leider mal eine dringende Frage. Die Aufgabe lautet: In welchen punkten ist die folgende Funktion diff'bar?
[mm] g(x)=|x^3+1|
[/mm]
Als erstes würde ich nun auf Stetigkeit prüfen. Obwohl ja dannach nicht explizit gefragt wird. Aber ich bin der Meinung mal gehört zu haben, dass die Stetigkeit Voraussetzung für die Diff'barkeit ist. Deshalb mach ich es lieber.
Ich würde zunächst eine Fallunterscheidung machen
[mm] \Rightarrow |x^3+1|=\begin{cases} x^3+1, & \mbox{für} x^3+1 \ge 0 \gdw x \ge -1 \mbox{} \\ -x^3-1, & \mbox{für} x^3+1 < 0 \gdw x < -1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich muss somit den Links und Rechtsseitigen Grenzwert an der kritischen Stelle x=-1 untersuchen, da die Funktionen einzeln betrachtet stetig sind.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^-}-x^3-1=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^+}x^3+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Also ist die Funktion Stetig ist.
Und es gilt nun für die Differenzierbarkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^-}\bruch{-x^3-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1^-}(x^2-x+1)=-3
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^+}\bruch{x^3+1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1^+}(x^2-x+1)=3
[/mm]
Also nicht diff'bar.
Wäre das so in Ordnung??? MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Do 09.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo. Ich habe leider mal eine dringende Frage. Die
> Aufgabe lautet: In welchen punkten ist die folgende
> Funktion diff'bar?
> [mm]g(x)=|x^3+1|[/mm]
>
> Als erstes würde ich nun auf Stetigkeit prüfen. Obwohl ja
> dannach nicht explizit gefragt wird. Aber ich bin der
> Meinung mal gehört zu haben, dass die Stetigkeit
> Voraussetzung für die Diff'barkeit ist. Deshalb mach ich es
> lieber.
>
> Ich würde zunächst eine Fallunterscheidung machen
>
> [mm]\Rightarrow |x^3+1|=\begin{cases} x^3+1, & \mbox{für} x^3+1 \ge 0 \gdw x \ge -1 \mbox{} \\ -x^3-1, & \mbox{für} x^3+1 < 0 \gdw x < -1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich muss somit den Links und Rechtsseitigen Grenzwert an
> der kritischen Stelle x=-1 untersuchen, da die Funktionen
> einzeln betrachtet stetig sind.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^-}-x^3-1=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^+}x^3+1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Also ist die Funktion Stetig ist.
>
> Und es gilt nun für die Differenzierbarkeit:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^-}\bruch{-x^3-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1^-}(x^2-x+1)=-3[/mm]
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1^+}\bruch{x^3+1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1^+}(x^2-x+1)=3[/mm]
>
> Also nicht diff'bar.
>
> Wäre das so in Ordnung??? MFG domenigge135
Fast !
Beim vorletzten Grenzwert hast Du ein "-" vergessen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^-}\bruch{-x^3-1}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1^-}( [/mm] - [mm] (x^2-x+1))=-3
[/mm]
FRED
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