Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Di 13.01.2009 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig, und differenzierbar für alle x [mm] \not= x_{0}.
[/mm]
Beweisen Sie: Existieren die einseitigen Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}\pm0} [/mm] f'(x) und stimmen diese überein, dann ist f auch in x = [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar. |
Hallo!
So, dann zeig ich euch mal, was mir zu dieser Aufgabe im Kopf rumschwirrt:
f(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar bedeutet doch eigentlich nichts weiter, als dass die Ableitung f'(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] existiert?
Wenn die einseitigen Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}\pm0} [/mm] f'(x) existieren und übereinstimmen, dann kann man die Funktion f'(x) an dieser Stelle stetig fortsetzen und damit würde f'(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] existieren und somit ist f(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar
Jetzt meine Frage: hab ich irgendetwas übersehen oder nicht beachtet? Kann man das als einen vollständigen Beweis betrachten?
Ich Danke euch jetzt schon für die Mühe!
Mfg
Doc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
So ganz stimmt Deine Argumentation nicht !
Sei x> [mm] x_0. [/mm] Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t =t(x) [mm] \in (x_0, [/mm] x) mit [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = f'(t).
Lasse jetzt x gegen [mm] x_0 [/mm] gehen und Du siehst:
die rechtseitige Ableitung von f in [mm] x_0 [/mm] existiert und ist = $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}+} [/mm] $ f'(x).
Analog zeigst Du:
die linkseitige Ableitung von f in [mm] x_0 [/mm] existiert und ist = $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}-} [/mm] $ f'(x).
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:28 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Docci |
Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe, in der Aufgabenstellung ist bereits vorgegeben, dass die beiden einseitigen Grenzwerte von f'(x) existieren und überreinstimmen, warum muss ich das noch nachweisen?
Vielleicht könntest du mir auch noch genau sagen, wo in meinen ersten überlegungen der Fehler steckt, damit ich diesen nicht noch einmal begehe.
Vielen Dank!
MfG
Doc
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> Was ich jetzt noch nicht so ganz verstehe, in der
> Aufgabenstellung ist bereits vorgegeben, dass die beiden
> einseitigen Grenzwerte von f'(x) existieren und
> überreinstimmen, warum muss ich das noch nachweisen?
Dieser Satz allein zeigt vielleicht das eigentliche Problem auf: Du kannst nicht gut genug Deutsch. Das ist gesprochene Sprache, aber keine Schriftsprache. Nach "verstehe" gehört dann wenigstens ein Doppelpunkt, nach "übereinstimmen", das nur ein "r" haben darf, ist der Satz zu Ende (früher: zuende).
Möglicherweise verstehst Du aufgrund dieser noch nicht ausgebauten Sprachbeherrschung auch die Aufgabenstellung nicht. Dort heißt es ja "Beweisen Sie: Existieren die einseitigen Grenzwerte $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}\pm0} [/mm] $ f'(x) und stimmen diese überein, dann ist f auch in x = $ [mm] x_{0} [/mm] $ differenzierbar."
Das ist ein eindeutig formulierter deutscher Satz mit einzelnen mathematischen Einschüben. Eine alternative Formulierung hätte die folgende sein können; sie ist sinngleich.
Beweisen Sie, dass f in [mm] x=x_0 [/mm] differenzierbar ist, wenn die einseitigen Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0,+}} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0,-}} [/mm] existieren und übereinstimmen: [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0,+}}=\limes_{x\rightarrow \ x_{0,-}}.
[/mm]
Die Angabe =f'(x) ist hier überflüssig, wenn nicht gar irreführend.
Jedenfalls sollte Dir die Umformulierung verdeutlichen, dass das Faktum der Übereinstimmung nicht gegeben ist, sondern Vorbedingung und Teil eines logischen Schlusses, mithin noch zu zeigende Voraussetzung ist.
Herzliche Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Docci |
Im Nachinein muss ich zugeben, dass meine Frage äußerst unvorteilhaft gestellt war, ich wollte eigentlich auf etwas anderes hinaus, aber das hat sich mitlerweile geklärt...sorry!
Also mit der freundlich Hilfe von Fred konnte man zeigen, dass die einseitigen Grenzwerte der Ableitung existieren, aber kann man noch irgendwie zeigen, dass diese auch gleich sind? Oder muss ich hier dann sagen, für den Fall dass sie gleich sind kann man... usw.
oder habe ich auch hier etwas übersehen? :/
MfG
Doc
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> Also mit der freundlich Hilfe von Fred konnte man zeigen,
> dass die einseitigen Grenzwerte der Ableitung existieren,
> aber kann man noch irgendwie zeigen, dass diese auch gleich
> sind? Oder muss ich hier dann sagen, für den Fall dass sie
> gleich sind kann man... usw.
>
> oder habe ich auch hier etwas übersehen? :/
Hallo,
ich bin verwirrt. Es geht doch um die Aufgabe, die Du eingangs gepostet hast?
Es wundert mich, daß Du die Existenz der einseitigen Grenzwerte irgendwie zeigen konntest. Zeigen?!
Die sind doch vorausgesetzt, genau wie ihre Gleichheit. Und unter dieser Voraussetzung soll man die Diffbarkeit in [mm] x_0 [/mm] dann zeigen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Docci |
Ich bin jetzt auch total verwirrt, wie man wahrscheinlich merkt.
Also kann ich jetzt doch die Existenz und die Übereinstimmung der beiden einseitigen Grenzwerte voraussetzen und weiter argumentieren?
Dann ist die letzte Frage total überflüssig...
Sorry für die ganze Verwirrung!
MfG
Doc
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> Also mit der freundlich Hilfe von Fred konnte man zeigen,
> dass die einseitigen Grenzwerte der Ableitung existieren,
> aber kann man noch irgendwie zeigen, dass diese auch gleich
> sind? Oder muss ich hier dann sagen, für den Fall dass sie
> gleich sind kann man... usw.
Hallo,
ich will jetzt versuchen, die Aufgabe nochmal von vorn aufzurollen, denn ich bin mir nicht ganz sicher, ob wirklich alles klar ist (- vor allem möchte ich auch wissen, ob mir alles klar ist).
Gegeben ist eine stetige Funktion [mm] f:\IR \to \IR, [/mm] welche nach Voraussetzung differenzierbar ist für [mm] x\not=x_0.
[/mm]
Also existiert für jedes [mm] x\in \IR [/mm] \ [mm] \{x_0\} [/mm] die Ableitung.
[Ein Beispiel für solch eine Funktion wäre die Betragsfunktion mit g(x):=|x|
mit der Ableitungsfunktion
[mm] g'(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ -1, & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \end{cases}.
[/mm]
Diese Funktion g erfüllt jedoch nicht die Voraussetzung dessen, was nun gezeigt werden soll:]
Die Behauptung ist nun: wenn die Grenzwerte der Ableitungsfunktion für [mm] x\to x_0 [/mm] erstens aus beiden Richtungen existieren und zweitens übereinstimmen, dann ist die Funktion f differenzierbar auch in [mm] x_0.
[/mm]
[Die erste der Bedingungen ist für die Betragsfunktion erfüllt, die zweite jedoch nicht.]
Die Zutaten, die wir haben, isind also die Existenz von [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{+}} [/mm] f'(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{}-} [/mm] f'(x).
Aus diesen Zutaten muß man nun irgendwie folgern, daß der Grenzwert [mm] \lim_{x\to x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.
Wenn er existiert, ist das dann die Ableitung an der Stelle [mm] x_0, [/mm] also [mm] f'(x_0).
[/mm]
Wann existiert er? Wenn [mm] \lim_{x\to x_0^+}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] und [mm] \lim_{x\to x_0^-}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existieren und gleich sind.
So, nun sind wir an der Stelle angelangt, an welcher freds Einsatz kommt: er hat Dir gesagt, wie Du zeigen kannst, daß
[mm] \lim_{x\to x_0^+}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{+}} [/mm] f'(x)
und
[mm] \lim{x\to x_0^-}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{-}} [/mm] f'(x)
richtig sind.
Aus der Gleichheit von [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{+}} [/mm] f'(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}^{-}} [/mm] f'(x) folgt dann die Gleichheit von [mm] \lim_{x\to x_0^+}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] und [mm] \lim_{x\to x_0^-}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
[/mm]
So, und mit diesem letzten Satz habe ich nun tatsächlich auch die von Dir gestellte Frage beantwortet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 18.01.2009 | | Autor: | Docci |
Ja, genau so hatte ich das auch verstanden. Vielen Dank angela, du hast mir mal wieder aus der Klemme geholfen. Nach dem Artikel von reverend war ich total verwirrt und wollte etwas zeigen, was garnicht zu zeigen geht. In Zukunft werd ich mich einfach bemühen, ein kritikfreies deutsch zum besten zu geben!
Vielen Dank!
MfG
Doc
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> Dieser Satz allein zeigt vielleicht das eigentliche Problem
> auf: Du kannst nicht gut genug Deutsch.
Hallo,
in der Tat war Doccis einleitender Satz nicht gerade eine Perle der deutschen Schriftsprache.
Ich glaube jedoch, daß Docci gut verstanden hatte, daß die Existenz und Übereinstimmung der einseitigen Grenzwerte $ [mm] \limes_{x\rightarrow \ x_{0}\pm0} [/mm] $ f'(x) in der Aufgabe die Voraussetzung ist, unter der die Existenz einer Ableitung auch im Punkt [mm] x=x_0 [/mm] zu zeigen ist.
Voraussetzung - nicht: zu zeigende Voraussetzung!
Wär's zu zeigen, wär's ja auch keine Voraussetzung.
Und zeigen kann man es auch gar nicht, weil es nicht immer gilt, s. Betragsfunktion.
Das zu Zeigende ist die Existenz der Ableitung im Punkt [mm] x_0.
[/mm]
Doccis Problem hatte seine Ursache also nicht in einem Sprachproblem, sondern eher in mangelndem mathematischen Problembewußtsein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 So 18.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela, hallo docci,
tut mir leid, wenn ich das falsch wahrgenommen haben sollte. So sah es für mich aus. Schön, wenn es anders ist.
Manchmal gehöre ich zu den (m.E. eher seltenen) Leuten, die sich gern irren...
lg,
reverend
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