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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe anhand der Definition der Differnzierbarkeit und des Einschließungssatzes, dass die folgende Funktion in [mm]x_0[/mm] differenzierbar sind und bestimmen Sie dabei g'(0):
[mm]g:]-1,1[\rightarrow \IR ,
g(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für }x\in \IQ \\
x^5, & \mbox{für }x\in \IR \setminus \IQ \end{matrix}\right. [/mm] |
Habe das bisher soweit gelöst:
[mm]
\limes_{x \to 0} \bruch{x^5-0^5}{x-0}=\limes_{x \to 0} \bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4=0[/mm]
ich weiss jedoch nicht genau wozu ich den EInschließungssatz jetzt noch brauchen sollte?
Vielen Dank
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> Beweisen Sie mit Hilfe anhand der Definition der
> Differnzierbarkeit und des Einschließungssatzes, dass die
> folgende Funktion in [mm]x_0[/mm] differenzierbar sind und bestimmen
> Sie dabei g'(0):
> [mm]g:]-1,1[\rightarrow \IR ,
g(x)=\left\{\begin{matrix}
x^3, & \mbox{für }x\in \IQ \\
x^5, & \mbox{für }x\in \IR \setminus \IQ \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Habe das bisher soweit gelöst:
> [mm]
\limes_{x \to 0} \bruch{x^5-0^5}{x-0}=\limes_{x \to 0} \bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4=0[/mm]
Hallo,
wenn Du Dir mal die Definition der Diffbarkeit im Punkt x=0 anschaust, siehst Du, daß Du die Existenz zeigen mußt von
[mm] \limes_{x \to 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x \to 0} \bruch{f(x)}{x}.
[/mm]
f(x) ist aber nicht dasselbe wie [mm] x^5, [/mm] sondern f(x)ist das, was oben definiert wurde.
ich weiß natürlich so in etwa, was Du Dir bei dieser Vorgehensweise gedacht hast...
Aber:
die Existenz von [mm] \limes_{x \to 0} \bruch{f(x)}{x} [/mm] bedeutet ja, daß für jede reelle Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte ( [mm] \bruch{f(x_n)}{x_n}) [/mm] gegen ein und denselben Wert konvergiert,
also sämtliche Folgen [mm] (x_n), [/mm] deren Glieder rational sind,
samtliche Folgen [mm] (x_n), [/mm] deren Glieder reell und nicht rational sind,
sämtliche Folgen [mm] (x_n), [/mm] deren Glieder sowohl aus den einen als auch aus den anderen Zahlen bestehen.
Hier kommt nun der Einschließungssatz zum Einsatz:
Sei [mm] x_n [/mm] konvergent gegen 0.
Du kannst [mm] f(x_n) [/mm] nach oben und unten abschätzen, ebenso [mm] \bruch{f(x_n)}{x_n},
[/mm]
Gruß v. Angela
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> ich weiss jedoch nicht genau wozu ich den
> EInschließungssatz jetzt noch brauchen sollte?
> Vielen Dank
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Hmm irgendwie weiss ich nicht ganz wie ich das schreiben soll also einmal wäre das ja:
[mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^3}{x}=\limes_{x \to 0} x^2 =0[/mm]
und:
[mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4 =0[/mm]
könnte ich die beiden Ergebnis jetzt nehmen um den Einschließungssatz zu bilden? aber was muss dann in der MItte stehen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hmm irgendwie weiss ich nicht ganz wie ich das schreiben
> soll also einmal wäre das ja:
> [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^3}{x}=\limes_{x \to 0} x^2 =0[/mm]
Das müßtest/solltest Du, wenn schon, so schreiben:
[mm] $\limes_{\substack{x \in \IQ \\ x \to 0}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{\substack{x \in \IQ \\ x \to 0}} x^2=0\,.$
[/mm]
> und:
> [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4 =0[/mm]
Hier analog:
[mm] $\limes_{\substack{x \in \IR \setminus \IQ \\ x \to 0}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{\substack{x \in \IR \setminus \IQ \\ x \to 0}} x^4=0\,.$ [/mm]
> könnte ich die beiden Ergebnis jetzt nehmen um den
> Einschließungssatz zu bilden? aber was muss dann in der
> MItte stehen?
> Danke
Du kannst es z.B. so aufschreiben:
Wir behaupten:
Für alle $x$ mit $|x| [mm] \in [/mm] (0,1)$ gilt $(0 [mm] \le)\;\;\;\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right| \le |x|\,.$
[/mm]
Dazu beachte: Wegen $0 [mm] \in \IQ$ [/mm] ist [mm] $f(0)=0^3=0\,.$
[/mm]
1. Fall:
Sei $|x| [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \cap \IQ$:
[/mm]
Hier gilt [mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=x^2\,.$ [/mm] Warum gilt nun [mm] $|x^2| \le [/mm] |x|$?
2. Fall:
Sei $|x| [mm] \in [/mm] (0,1) [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)$:
[/mm]
Hier gilt [mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^5}{x}=x^4\,.$ [/mm] Warum gilt nun [mm] $|x^4| \le [/mm] |x|$?
(Beachte dabei auch: $(0,1)=((0,1) [mm] \cap \IQ) \overset{d}{\cup} [/mm] ((0,1) [mm] \cap (\IR \setminus \IQ))\,,$ [/mm] wobei [mm] $\overset{d}{\cup}$ [/mm] bedeutet, dass die Vereinigung eine disjunkte Vereinigung ist!)
Fazit:
Wenn Du nun weißt, dass für jedes $x$ mit $|x| [mm] \in [/mm] (0,1)$ die Ungleichung
$$0 [mm] \le \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=\left|\frac{f(x)}{x}\right| \le [/mm] |x|$$
erfüllt ist: Was bedeutet das bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
Edit: Vll. ein paar Ergänzungen:
[mm] $\bullet$ [/mm] Ich habe oben eigtl. auch benutzt, dass $x [mm] \in \IQ$ [/mm] genau dann, wenn $|x| [mm] \in \IQ\,.$ [/mm] (Der Beweis dazu ist fast banal; bekommst Du ihn hin?)
[mm] $\bullet$ [/mm] Ich schreibe $(a,b)$ anstatt [mm] $]a,b[\,,$ [/mm] es ist also [mm] $(0,1)=]0,1[=\{r \in \IR: 0 < r < 1\}\,.$ [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Ganz vollständig sollte man oben anstatt [mm] $\lim_{\substack{x \in \IQ\\x \to 0}}...$ [/mm] sogar, wenn man ganz pingelig ist, [mm] $\lim_{\substack{x \in \IQ \cap ]-1,1[\\x \to 0}}...$ [/mm] (und analoges) schreiben. Aber dass stets $x [mm] \in [/mm] ]-1,1[$ gelten soll, ist klar durch den Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] deswegen macht es nichts, sich das zu ersparen. Aber Du sollst, laut Aufgabenstellung, ja auch die Behauptung nicht auf direktem Wege mit diesen beiden Grenzwerten beweisen, sondern quasi mit einer gemeinsamen Abschätzung (s.o.).
Gruß,
Marcel
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> Hmm irgendwie weiss ich nicht ganz wie ich das schreiben
> soll also einmal wäre das ja:
> [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^3}{x}=\limes_{x \to 0} x^2 =0[/mm]
>
> und:
> [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4 =0[/mm]
>
> könnte ich die beiden Ergebnis jetzt nehmen um den
> Einschließungssatz zu bilden? aber was muss dann in der
> MItte stehen?
> Danke
>
Hallo,
ich nehme nochmal Bezug auf das, was ich zuvor schrieb:
Es muß gezeigt werden, daß [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] existiert, es ist auch kein geheimnis, daß man gerne [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{f(x)}{x}=0 [/mm] zeigen möchte.
Das bedeutet: für jede Folge [mm] x_n, [/mm] die gegen 0 konvergiert ist zu zeigen, daß die Folge [mm] (\bruch{f(x_n)}{x_n}) [/mm] gegen 0 konvergiert.
Deine Aufgabe spielt im Intervall ]-1,1[, hier ist [mm] x_5\le x_3
[/mm]
Wenn nun [mm] x_n [/mm] das Glied einer gegen 0 konvergierenden Folge in diesem Intervalle ist , so weißt Du doch, zwischen welchen Werten [mm] \bruch{f(x_n)}{x_n} [/mm] liegt:
[mm] \bruch{x_n^5}{x_n}\le\bruch{f(x_n)}{x_n}\le\bruch{x_n^3}{x_n},
[/mm]
Und nun den Grenzwert.
Gruß v. Angela
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Hallo,
aber meine Folgerungen:
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{x^3}{x}=\limes_{x \to 0} x^2 =0 [/mm]
und:
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{x^5}{x}=\limes_{x \to 0} x^4 =0 [/mm]
sind zuulässig oder nicht und dann könnte ich ja mit deinem Ansatz sagen:
[mm]
\bruch{x_n^5}{x_n}\le\bruch{f(x_n)}{x_n}\le\bruch{x_n^3}{x_n}
\Rightarrow \limes_{x \to 0} \bruch{x_n^5}{x_n}\le\limes_{x \to 0} \bruch{f(x_n)}{x_n}\le \limes_{x \to 0}\bruch{x_n^3}{x_n} \Rightarrow
0\le\limes_{x \to 0} \bruch{f(x_n)}{x_n}\le 0 \Rightarrow \limes_{x \to 0} \bruch{f(x_n)}{x_n}=0
[/mm]
Könnte man das so sagen oder hab ich da annahmen getroffen die nicht richtig sind?
Vielen Dank
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> Könnte man das so sagen
Hallo,
genauso jedenfalls hatte ich das für Dich geplant.
Gruß v. Angela
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