Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei I ⊂ R ein offenes Intervall, f : I → R stetig und F : I × I → R eine reelle Funktion mit den beiden folgenden Eigenschaften:
i) Für alle a, b, c ∈ I gilt: F(a, b) = F(a, c) + F(c, b).
ii) Es seien m,M ∈ R und x, y ∈ I, so daß [x, y] ⊂ I und m ≤ [mm] f(\varepsilon) [/mm] ≤ M für alle [mm] \varepsilon [/mm] ∈ [x, y].
Dann gilt m(y − x) ≤ F(x, y) ≤ M(y − x)
Zeigen Sie, daß für beliebiges [mm] x_0 [/mm] ∈ I die Funktion I ∋ x → [mm] F(x_0, [/mm] x) auf I differenzierbar ist mit Ableitung f. |
Hallo Leute,
ich bin echt verzweifelt. Ich brauche die Lösung von der Aufgabe unbedingt und ich weis einfach nicht wie ich es lösen soll. Ich brauche die Punkte um zur Klausur zugelassen zu sein. Kann mir bitte bitte jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 08.07.2009 | | Autor: | trixi28788 |
Achja ich hab mich bei Differenzierbarkeit nur verschrieben ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Merkwürdige Aufgabe ......
Sei $g(x) := [mm] F(x_0,x)$
[/mm]
Sei z [mm] \in [/mm] I (fest) . Zu zeigen: g ist in z differenzierbar und $g'(z) = f(z)$
Anleitung:
Sei x >z.
1. Es gilt: $g(x)-g(z) = F(z,x)$
2. Sei [mm] n_x [/mm] = min { f(t): t [mm] \in [/mm] [z,x] } und [mm] N_x [/mm] = max { f(t): t [mm] \in [/mm] [z,x] }
Da f stetig ist, folgt: [mm] n_x, N_x \to [/mm] f(z) für x [mm] \to [/mm] z
3. Es gilt (wegen 1.und nach Vor.)
[mm] $n_x(z-x) \le [/mm] g(x)-g(z) [mm] \le N_x(z-x)
[/mm]
Somit: [mm] $n_x \le \bruch{g(x)-g(z)}{z-x} \le N_x$
[/mm]
Jetzt x [mm] \to [/mm] z. Damit ist g rechtsseitig differenzierbar mit rechtsseitiger Ableitun f(z)
Genauso verfährt man mit der linksseitigen Ableitung
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Do 09.07.2009 | | Autor: | trixi28788 |
Danke danke
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