Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
| Aufgabe | f(x,y) = [mm] \bruch{xy^2}{x2+y2}, [/mm] für (x,y) [mm] \not=0 [/mm] und f(0,0)=0
zu zeigen dass f nicht defferenzierbar in punkt (0,0) |
für alle [mm] \alpha [/mm] von [mm] \IR [/mm] haben wir f( [mm] \alpha*x ,x)=\bruch{\alpha*x}{\alpha^2+1} [/mm]
darauss folgt dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f( \alpha*x ,x )}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{\alpha^2+1} [/mm]
dass heisst dass f ist in richtung [mm] (\alpha,1) [/mm] defferenzierbar
und [mm] D_{(\alpha,1)}f(0,0)= \bruch{\alpha}{\alpha^2+1} [/mm]
behaupten wir dass f ist defferenzierbar im punkt (0,0):
darauss folg dass [mm] df_{(\alpha,1)}f(0,0)= \bruch{\alpha}{\alpha^2+1} [/mm]
die Abbildung [mm] df_{(\alpha,1)}f(0,0): \IR^2\to\IR [/mm] ist lineare abildung [mm] \alpha \to \bruch{\alpha}{\alpha^2+1} [/mm] ist keine linear abildung wiederspruch
stimmt mein Beweiss was ist dann mit der abbildung [mm] \alpha \to \bruch{\alpha}{\alpha^2+1} [/mm] ist die affine Abildung ich habe vergessen den unterschied zwischen lineare und affine abbildung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) = [mm]\bruch{xy^2}{x2+y2},[/mm] für (x,y) [mm]\not=0[/mm] und
> f(0,0)=0
>
> zu zeigen dass f nicht defferenzierbar in punkt (0,0)
> für alle [mm]\alpha[/mm] von [mm]\IR[/mm] haben wir f( [mm]\alpha*x ,x)=\bruch{\alpha*x}{\alpha^2+1}[/mm]
> darauss folgt dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f( \alpha*x ,x )}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\alpha}{\alpha^2+1}[/mm]
>
> dass heisst dass f ist in richtung [mm](\alpha,1)[/mm]
> defferenzierbar
>
> und [mm]D_{(\alpha,1)}f(0,0)= \bruch{\alpha}{\alpha^2+1}[/mm]
>
> behaupten wir dass f ist defferenzierbar im punkt (0,0):
> darauss folg dass [mm]df_{(\alpha,1)}f(0,0)= \bruch{\alpha}{\alpha^2+1}[/mm]
>
>
> die Abbildung [mm]df_{(\alpha,1)}f(0,0): \IR^2\to\IR[/mm] ist
> lineare abildung [mm]\alpha \to \bruch{\alpha}{\alpha^2+1}[/mm]
> ist keine linear abildung wiederspruch
>
> stimmt mein Beweiss was ist dann mit der abbildung [mm]\alpha \to \bruch{\alpha}{\alpha^2+1}[/mm]
> ist die affine Abildung ich habe vergessen den unterschied
> zwischen lineare und affine abbildung.
>
Also was Du da oben treibst ist mir schleierhaft.
Betrachte
[mm] \bruch{f(x,y)-f(0,0)-gradf(0,0)*(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}}
[/mm]
Berechne mal diesen Quotienten.
Falls dieser Quotient für $(x,y) [mm] \to [/mm] 0$ gegen 0 strebt ist f in (0,0) differenzierbar, anderenfalls nicht
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 15.07.2009 | | Autor: | tony1v |
das weiss ich mein Freund aber ich wollte wissen ob mein beweiss richtig ist oder nicht
es geht hier nicht nur wie man diese aufgabe lösen kann sondern wie viele verschiedene methoden gibts um solche aufgaben zu lösen.
ich danke dir trotzdem vielmals für deine mühe und deine Antwort.
wenn jemand mir sagen kann ob meine methode richtig ist oder nicht bin ich dann sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 15.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du mit deinem [mm] \alpha [/mm] gemacht hast, versteht hier niemand. vielleicht kann man daraus die Stetigkeit im Punkt (0,1) ablesen, denn gegen den geht das doch.
Ohne eine Def. von Differenzierbarkeit zu benutzen wie willst du da irgendwas beweisen?
Das "mein Freund" gilt im Deutschen als aeusserst herablassend. Wenn du hier Hilfe willst, versuch es mit besseren Umgangsformen.!
Kein Gruss, kein Dank, aber hier die Antwort deutlicher als im vorigen post:
Dein Beweis ist kein Beweis,
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Do 16.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> das weiss ich mein Freund aber ich wollte wissen ob mein
> beweiss richtig ist oder nicht
Nein, "mein Freund" , er ist es nicht. Leduart hat ja schon einiges dazu gesagt.
Wahrscheinlich ohne es zu merken, hast Du etwas brauchbares gemacht:
Die Richtungsableitung von f im Nullpunkt in Richtung (1,1) = 1/2
Wäre f im Nullpunkt differenzierbar, so wäre obige Richtunsableitung =
$gradf(0,0)*(1,1) = 0$
Widerspruch !
"Dein Freund" FRED
>
> es geht hier nicht nur wie man diese aufgabe lösen kann
> sondern wie viele verschiedene methoden gibts um solche
> aufgaben zu lösen.
>
> ich danke dir trotzdem vielmals für deine mühe und deine
> Antwort.
>
> wenn jemand mir sagen kann ob meine methode richtig ist
> oder nicht bin ich dann sehr dankbar.
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