Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei n [mm] \in \IN [/mm] und f : [mm] \IR ->\IR [/mm] sei definiert durch
f(x) [mm] =\begin{cases} x^5 sin (\frac{1}{x^n}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
untersuchen Sie, für welche n \ [mm] \IN [/mm] die Funktion f stetig, differenzierbar bzw. stetig differenzierbar ist. |
Hey,
ich will jetzt erst mal den oberen Term auf Stetigkeit prüfen.
dafür nehme ich doch das Kriterium [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] bzw.
| f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] ---> 0 , [mm] x-->x_0.
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wenn ja, setze ich den Term ein:
| [mm] x^5 [/mm] sin [mm] (\frac{1}{x^n}) [/mm] - [mm] x_0^5 [/mm] sin [mm] (\frac{1}{x_0^n})| [/mm] und jetzt wäre ich beim selben Problem wie letzte Woche. Was genau soll ich nun machen? Wenn x gegen [mm] x_0 [/mm] läuft, muss ich doch eigentlich gucken, was mit f(x) passiert wenn ich da einfach [mm] x_0 [/mm] einsetzte. Aber dann würde da immer Stetigkeit rauskommen.
Und wie mache ich das vom n abhängig?
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für die Stetigkeit würde ich das Folgenkriterium nehmen.
Sei also [mm] x_k [/mm] eine Folge mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_k=0.
[/mm]
Dann ist [mm] f(x_k)=x_k*sin(\frac{1}{x_k^n}). [/mm] Nun weiß du ja, dass der Sinus immer nur zwischen -1 und 1 liegt. Kommst du damit weiter?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hi,
ich verstehe nicht ganz was mit die Nullfolge [mm] x_k [/mm] helfen soll? Und das sinus sich in einem Intervall bewegt, hilft mir doch bei der Stetigkeit nicht, da muss ich doch Zeigen, dass keine Sprungstelle vorhanden sind? Also begreife es noch nicht ganz..
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Also das Folgenkriterium sagt dir ja:
f ist stetig in x, wenn für jede Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x [/mm] gilt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x) [/mm] ist. Habe meine Folgen hier nur [mm] x_k [/mm] genannt, da das n schon reserviert ist.
Nun siehst du bei deiner Aufgabe, dass f auf alle Fälle überall außer der 0 stetig ist, als Komposition stetiger Abbildungen eben. Daher musst du nur die Stelle x=0 untersuchen. Also nimmst du dir eine Folge [mm] x_k, [/mm] die gegen 0 läuft und schaust, was dabei mit [mm] f(x_k) [/mm] passiert. Wenn f stetig sein soll, müsste diese Folge auch gegen 0 laufen, da ja f(0)=0 ist.
Außerdem weißt du, dass gilt: [mm] -x_k \le x_k*sin(\bruch{1}{x_k^n}) \le x_k.
[/mm]
Und für [mm] x_k \to [/mm] 0 passiert dann was?
Teufel
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Hi,
ach du bist schon bei dem Fall x = 0. Ich war noch bei [mm] x\not= [/mm] 0. D.h. für [mm] x\not=
[/mm]
sage ich einfach die Fkt. ist eine Komposition stetig differenzierbarer Funktionen( hab es abgeleitet und eine stetige Funktion bekommen) und somit ist f für x [mm] \in \IR [/mm] ohne 0 auch eine stetig differenzierbare Fkt?
Nun muss ich, wenn ichs richtig verstanden habe, zeigen, dass :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |f(x) - f(0)| [mm] =\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |f(x)| = 0 ist?
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^5 [/mm] sin( [mm] \frac{1}{x^n} [/mm] = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , denn der sinus divergiert im Intervall 1 und -1 und [mm] x^5 [/mm] konvergiert gegen 0.
Passt das so?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Ja, so ist das ok. Aber schreib am besten, dass der Sinus beschränkt ist und nicht divergent. Oder mache diese Ungleichung, die ich geschrieben habe und wende darauf den Limes an (Stichwort Sandwichlemma).
Aber damit hast du erst mal nur die Stetigkeit gezeigt.
Und für die Differenzierbarkeit musst du, wie du schon richtig sagtest, auch nur die Stelle 0 testen (mit dem Differentialquotienten). Für die stetige Differenzierbarkeit dann auch.
Teufel
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Hi
ich versuche mal die Differenzierbarkeit zu zeigen:
[mm] \frac{f(0+h) - f(0)}{h} [/mm] = [mm] \frac{f(h)}{h} [/mm] = [mm] h^4 sin(\frac{1}{h^n}) [/mm] ---> 0 , h--> 0 wegen: [mm] 0\le h^4 sin(\frac{1}{h^n})\le h^4 [/mm] ---> 0 , h-->0
stetige differenzierbarkeit:
|f'(x) - f'(0)| = | 5x^4sin [mm] (\frac{1}{x^n}) [/mm] - [mm] x^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{nx^{n-1}} [/mm] |-----> ?? , x-->0
sind und cos sind wieder zw. 1 und -1 und werden von [mm] x^4 [/mm] bzw. [mm] x^5 [/mm] auf Null gedrückt , aber nun habe ich [mm] nx^{n-1} [/mm] da noch stehen das ja gegen [mm] \infty [/mm] geht bei x -->0
passt so? komisch das es für alle n geht..
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi
>
> ich versuche mal die Differenzierbarkeit zu zeigen:
> [mm]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/mm] = [mm]\frac{f(h)}{h}[/mm] = [mm]h^4 sin(\frac{1}{h^n})[/mm]
> ---> 0 , h--> 0 wegen: [mm]0\le h^4 sin(\frac{1}{h^n})\le h^4[/mm]
> ---> 0 , h-->0
> passt so? komisch das es für alle n geht..
Besser: wegen [mm] $0\le h^4\cdot{}\red{\left|}\sin\left(\frac{1}{h^n}\right)\red{\right|}\le h^4 \ldots$
[/mm]
Sonst genau richtig!
>
> Snafu
LG
schachuzipus
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Hi,
reicht das denn dann, weil ich lasse ja dann wegen den Betragsstrichen den negativen Teil der Funktion aus?
Snafu
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> Hi,
>
> reicht das denn dann, weil ich lasse ja dann wegen den
> Betragsstrichen den negativen Teil der Funktion aus?
>
> Snafu
Hallo,
erstmal halten wir fest: die Abschätzung $ [mm] 0\le h^4 sin(\frac{1}{h^n})\le h^4 [/mm] $, die Du vorher irgendwo stehen hattest, ist falsch, denn wenn Dein h dicht links der 0 ist, ist [mm] h^4 sin(\frac{1}{h^n})< [/mm] 0.
Wenn Dich die Betragstriche irgendwie beunruhigen, dann kannst Du ja auch schreiben
$ [mm] -h^4 \le h^4 sin(\frac{1}{h^n})\le h^4 [/mm] $ (<==> [mm] |h^4 sin(\frac{1}{h^n})|\le h^4 [/mm] ).
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi
>
> ich versuche mal die Differenzierbarkeit zu zeigen:
> [mm]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/mm] = [mm]\frac{f(h)}{h}[/mm] = [mm]h^4 sin(\frac{1}{h^n})[/mm]
> ---> 0 , h--> 0 wegen: [mm]0\le h^4 sin(\frac{1}{h^n})\le h^4[/mm]
> ---> 0 , h-->0
>
> stetige differenzierbarkeit:
> |f'(x) - f'(0)| = | 5x^4sin [mm](\frac{1}{x^n})[/mm] - [mm]x^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{nx^{n-1}}[/mm]
> |-----> ?? , x-->0
> sind und cos sind wieder zw. 1 und -1 und werden von [mm]x^4[/mm]
> bzw. [mm]x^5[/mm] auf Null gedrückt , aber nun habe ich [mm]nx^{n-1}[/mm] da
> noch stehen das ja gegen [mm]\infty[/mm] geht bei x -->0
> passt so? komisch das es für alle n geht..
Deine Abletung ist nicht richtig !
Richtig: $f'(x) = 5x^4sin [mm] (\frac{1}{x^n}) [/mm] - n [mm] x^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{x^{n+1}} [/mm] $
Sei n [mm] \ge [/mm] 5 und [mm] $x_k:= \bruch{1}{\wurzel[n]{k \pi}}$
[/mm]
Überzeuge Dich davon, dass [mm] (x_k) [/mm] eine Nullfolge ist, die Folge [mm] (f'(x_k)) [/mm] aber unbeschränkt ist
Für n [mm] \ge [/mm] 5 ist f also nicht stetig differenzierbar
FRED
>
> Snafu
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Hi
benutze ich die Nullfolge { [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{k\pi}} [/mm] }
so f( [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{k\pi}} [/mm] ) = 5 [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^4} sin(k\pi) [/mm] - n [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^5}cos(k\pi) k\pi \wurzel[n]{k\pi} [/mm] gehe ich hier mit k gegen [mm] \infty, [/mm] so kriege ich :
5 [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^4} sin(k\pi) [/mm] ---> 0
n [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^5} [/mm] ---->0 für alle n
[mm] cos(k\pi) k\pi \wurzel[n]{k\pi} [/mm] --> [mm] \pm\infty, [/mm] d.h. ich hätte da als Grenzwert [mm] 0-0(\pm\infty) [/mm] stehen , was ja nicht definiert ist. Mach ich hier was falsch? Ich muss doch auf [mm] \infty [/mm] kommen, damit die Ableitung unbeschränkt ist
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 27.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum soll der GW unbeschränkt sein? Was ist die Def. von Differenzierbar?
ist etwa f(x)=|x| in 0 diffbar? ist der GW unbeschränkt?
und du kannst nie, wirklich nie, hinschreiben [mm] 0*\infty
[/mm]
nur kein GW, (auch keine bestimmte Divergenz, wie manche es bezeichnen wenn der GW beliebig groß wird)
Gruss leduart
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Hi,
also weil f'(x) = 5 [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^4} sin(k\pi) [/mm] - n [mm] \frac{1}{(\wurzel[n]{k\pi})^5}cos(k\pi) k\pi \wurzel[n]{k\pi} [/mm] keinen GW besitzt( weil "0mal [mm] \infty [/mm] rauskommen würde") ist die Ableitung nicht stetig und somit f(x) nicht stetig differentzierbar. Wo sehe ich denn dass es bis n < 5 stetig differenzierbar ist?
Snafu
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Hallo SnafuBernd,
> Es sei n [mm]\in \IN[/mm] und f : [mm]\IR ->\IR[/mm] sei definiert durch
> f(x) [mm]=\begin{cases} x^5 sin (\frac{1}{x^n}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> untersuchen Sie, für welche n \ [mm]\IN[/mm] die Funktion f stetig,
> differenzierbar bzw. stetig differenzierbar ist.
> Hey,
>
> ich will jetzt erst mal den oberen Term auf Stetigkeit
> prüfen.
> dafür nehme ich doch das Kriterium [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}[/mm]
> f(x) = [mm]f(x_0)[/mm] bzw.
> | f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] ---> 0 , [mm]x-->x_0.[/mm]
> Stimmt das soweit?
>
> Wenn ja, setze ich den Term ein:
> | [mm]x^5[/mm] sin [mm](\frac{1}{x^n})[/mm] - [mm]x_0^5[/mm] sin [mm](\frac{1}{x_0^n})|[/mm]
> und jetzt wäre ich beim selben Problem wie letzte Woche.
> Was genau soll ich nun machen? Wenn x gegen [mm]x_0[/mm] läuft,
> muss ich doch eigentlich gucken, was mit f(x) passiert wenn
> ich da einfach [mm]x_0[/mm] einsetzte. Aber dann würde da immer
> Stetigkeit rauskommen.
> Und wie mache ich das vom n abhängig?
M.E. ist das Folgenkriterium hier wie mit Kanonen auf Spatzen schießen, einfacher direkt:
Außerhalb von 0 ist die Funktion als Verkettung stetiger FUnktionen doch stetig.
Spannend ist allein die Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
Und der Betrag $|f(x)-f(0)|$ lässt sich doch wegen [mm] $|\sin(z)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $z\in\IR$ [/mm] doch locker abschätzen:
[mm] $|f(x)-f(0)|=\left|x^5\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)-0\right|=|x|^5\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)\right|\le |x|^5\cdot{}1=|x|^5$.
[/mm]
Und was treibt das für [mm] $x\to x_0=0$ [/mm] ??
(Alles für bel., aber festes [mm] $n\in\IN$)
[/mm]
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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Hi,
> Und der Betrag $|f(x)-f(0)|$ lässt sich doch wegen [mm] $|\sin(z)|\le [/mm] 1$ für alle [mm] $z\in\IR$ [/mm] doch locker abschätzen:
> [mm] $|f(x)-f(0)|=\left|x^5\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)-0\right|=|x|^5\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)\right|\le |x|^5\cdot{}1=|x|^5$. [/mm]
Wieso überhaupt abschätzen? Wenn [mm] x^5 [/mm] gegen Null konvergiert konvergiert der Term doch automatisch gegen Null egal was der Sinus macht, oder etwa nicht?
PS: Ich weiß das man das mit der Stetigkeit der 1. Terms gleich sehen kann, aber mich wundert es, dass ich nie das Kriterium der Stetigkeit benutzen kann, sondern meisten es einfach sehen muss.
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi,
> > Und der Betrag [mm]|f(x)-f(0)|[/mm] lässt sich doch wegen
> [mm]|\sin(z)|\le 1[/mm] für alle [mm]z\in\IR[/mm] doch locker abschätzen:
>
> >
> [mm]|f(x)-f(0)|=\left|x^5\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)-0\right|=|x|^5\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x^n}\right)\right|\le |x|^5\cdot{}1=|x|^5[/mm].
>
> Wieso überhaupt abschätzen? Wenn [mm]x^5[/mm] gegen Null
> konvergiert konvergiert der Term doch automatisch gegen
> Null egal was der Sinus macht, oder etwa nicht?
Ja, aber nur weil der Sinus beschränkt ist:
Nullfolge "mal" beschränkte Folge = Nullfolge
Die Beschränktheit des Sinus ist ein entscheidendes Argument, sowohl im Beweis über das Folgenkriterium als auch über den direkten Beweis ...
> PS: Ich weiß das man das mit der Stetigkeit der 1. Terms
> gleich sehen kann, aber mich wundert es, dass ich nie das
> Kriterium der Stetigkeit benutzen kann, sondern meisten es
> einfach sehen muss.
Nochmal, entscheidend ist die Beschränktheit des Sinus, der Ausdruck [mm] $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] kann in 0 nicht stetig fortgesetzt werden, das oszilliert wie bekloppt. (Aber zwischen -1 und 1)
Also "drückt" der Anteil [mm] $x^5$ [/mm] das ganze Biest für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen 0 runter ...
>
> Snafu
>
Gruß
schachuzipus
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Hi,
d.h. habe ich ein Produkt aus zwei Folgen, wobei eine eine Nullfolge ist und die andere divergiert, kann ich nicht automatisch davon ausgehen, dass das Produkt eine Nullfolge ist?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SnafuBernd!
Nein, da " [mm] $0*\infty$ [/mm] " ein unbestimmter Ausdruck ist, der im Grunde alles ergeben kann.
Daher ist hier (wie bereits deutlich geschildert) die Beschränktheit der sinus-Funktion entscheidend.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mi 26.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ok nun hab ich es verstanden.
Snafu
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Hallo alle zusammen,
ich habe mir jetzt noch mal durch alles durchgelesen, und meine die Aufgabe fast fertig zu haben, paar Fragen habe ich aber noch. Ich schreibe mal hin, was ich bis jetzt habe:
Ich habe gegeben
f(x) [mm] =\begin{cases} x^5 sin (\frac{1}{x^n}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Fall: x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0} :
die Fkt. ist, als Komposition stetiger und differenzierbarer Funktionen, stetig und differenzierbar für alle n [mm] \IN.
[/mm]
die Ableitung lautet:
f'(x) = [mm] 5x^4sin(\frac{1}{x^n}) [/mm] - [mm] nx^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{x^{n+1}}
[/mm]
ich nehme die Nullfolge [mm] \frac{1}{x_n} [/mm]
[mm] f'(\frac{1}{x}) [/mm] = [mm] 5\frac{1}{x^4}sin(n^n) [/mm] - [mm] n\frac{1}{x^5} cos(x^n) x^{n+1} [/mm] = [mm] 5\frac{1}{x^4}sin(x^n) [/mm] - n [mm] cos(x^n) x^{n - 4} --->\begin{cases} 0, & \mbox{für } n<4 \\ \pm 4, & \mbox{für } n = 4 \\ \pm\infty \mbox{für }n>4 \end{cases}
[/mm]
(bei dem cosinus bin ich mir nicht sicher. Konvergiert es gegen [mm] \pm [/mm] 1, und wegen n =4 , dann gegen [mm] \pm [/mm] 4?)
das sagt aus, dass f(x) stetig differenzierbar ist für n<4 und x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0}
Ist hier irgendwo ein Fehler, weil Fred (glaube) meinte es wäre für n<5 stetig diff'bar?
So jetzt muss ich doch noch den Fall x = 0 betrachten:
Stetigkeit:
|f(x) - f(0)| = [mm] |x^5 sin(\frac{1}{x^n})| [/mm] = [mm] |x|^5 |sin(\frac{1}{x^n})| [/mm] ----> 0 , x-->0 , da sin [mm] \in [/mm] [-1,1] => stetig für alle n
Differenzierbarkeit:
[mm] \frac{f(0+h) - f(0)}{h} [/mm] = [mm] h^4 sin(\frac{1}{h^n}) [/mm] ----> 0 , h --> 0
stetige Differenzierbarkeit:
|f'(x) - f'(0)| kann ich hier doch nicht verwenden, weil ich nicht weiß ob f'(0) existiert, oder?(würde ich 0 in die Ableitung einsetzten würde das Argument von sinus und cosinus [mm] \frac{1}{0} [/mm] sein)
Bzw., muss ich stetige Differenzierbarkeit an der Stelle 0 überhaupt zeige? Ich habe ja gezeigt, dass f(x) an der Stelle x=0 differenzierbar ist, d.h. die Ableitung von oben gilt auch für x = 0 und somit habe ich oben auch für x=0 gezeigt, dass es stetig differenzierbar ist für n<4?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 28.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe mir jetzt noch mal durch alles durchgelesen, und
> meine die Aufgabe fast fertig zu haben, paar Fragen habe
> ich aber noch. Ich schreibe mal hin, was ich bis jetzt
> habe:
> Ich habe gegeben
> f(x) [mm]=\begin{cases} x^5 sin (\frac{1}{x^n}), & \mbox{für } x \not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Fall: x [mm]\in \IR \backslash[/mm] {0} :
> die Fkt. ist, als Komposition stetiger und
> differenzierbarer Funktionen, stetig und differenzierbar
> für alle n [mm]\IN.[/mm]
> die Ableitung lautet:
> f'(x) = [mm]5x^4sin(\frac{1}{x^n})[/mm] - [mm]nx^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{x^{n+1}}[/mm]
>
> ich nehme die Nullfolge [mm]\frac{1}{x_n}[/mm]
wieso ist das ne Nullfolge?
ich denk, das meinst du nicht! du willst die Nullfolge [mm] x_n=\frac{1}{n}
[/mm]
verwenden, n gegen [mm] \infty [/mm] um die Steigkeit in 0 zu zeigen.
dann solltest du für [mm] f'(x_n) [/mm] auch konsquent 1/n einsetzen, was hier drunter steht ist ein mischmasch von x und [mm] x_n
[/mm]
ausserdem solltest du , da in der fkt ein anderes n vorkommt, da lieber [mm] x_m=1/m [/mm] schreiben usw.
oder meins du [mm] x_m=1/y_m [/mm] mit [mm] y_m [/mm] gegeen [mm] \infty, [/mm] dann eben entsprechend.
> [mm]f'(\frac{1}{x})[/mm] = [mm]5\frac{1}{x^4}sin(n^n)[/mm] - [mm]n\frac{1}{x^5} cos(x^n) x^{n+1}[/mm]
> = [mm]5\frac{1}{x^4}sin(x^n)[/mm] - n [mm]cos(x^n) x^{n - 4} --->\begin{cases} 0, & \mbox{für } n<4 \\ \pm 4, & \mbox{für } n = 4 \\ \pm\infty \mbox{für }n>4 \end{cases}[/mm]
>
> (bei dem cosinus bin ich mir nicht sicher. Konvergiert es
> gegen [mm]\pm[/mm] 1, und wegen n =4 , dann gegen [mm]\pm[/mm] 4?)
> das sagt aus, dass f(x) stetig differenzierbar ist für
> n<4 und x [mm]\in \IR \backslash[/mm] {0}
warum hast du denn x gegen 0 betrachtet, wenn du nur
x [mm]\in \IR \backslash[/mm] betrachtest?
da gilt doch wieder Komposition stet, diffb. fkt ist stetig diffb. 0 untersuchst du ja unten einzeln, und nur da musst du untersuchen!
> Ist hier irgendwo ein Fehler, weil Fred (glaube) meinte es
> wäre für n<5 stetig diff'bar?
>
> So jetzt muss ich doch noch den Fall x = 0 betrachten:
> Stetigkeit:
> |f(x) - f(0)| = [mm]|x^5 sin(\frac{1}{x^n})|[/mm] = [mm]|x|^5 |sin(\frac{1}{x^n})|[/mm]
> ----> 0 , x-->0 , da sin [mm]\in[/mm] [-1,1] => stetig für alle n
>
> Differenzierbarkeit:
> [mm]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/mm] = [mm]h^4 sin(\frac{1}{h^n})[/mm] ----> 0 ,
> h --> 0
>
> stetige Differenzierbarkeit:
> |f'(x) - f'(0)| kann ich hier doch nicht verwenden, weil
> ich nicht weiß ob f'(0) existiert, oder?(würde ich 0 in
> die Ableitung einsetzten würde das Argument von sinus und
> cosinus [mm]\frac{1}{0}[/mm] sein)
Du musst den GW von f'(x) für x gegen 0 betrachten, wenn der existiert, kannst du in 0 die ableitung stetig ergänzen. (so wie oben die fkt selbst.
du kennst f'(0)=0 siehe oben, und f'(x) für x [mm] \ne0
[/mm]
also bring das durcheinander in ordnung, konzentrier dich wirklich nur af den einzig fraglichen pkt x=0
übrigens, die Folgenstetigkeit ist kaum geiegnet, Stetigkeit zu zeigen, wohl aber Unstetigkeit. wenn du EINE folge [mm] x_n [/mm] gegen 0 findest wo der GW ungleich 0 ist, hast du Unstetigkeit, aber wenn du ein findest mit GW 0 heisst das noch nix, da es für ALLE Nullfolgen konv. muss.
Gruss leduart
> Bzw., muss ich stetige Differenzierbarkeit an der Stelle 0
> überhaupt zeige? Ich habe ja gezeigt, dass f(x) an der
> Stelle x=0 differenzierbar ist, d.h. die Ableitung von oben
> gilt auch für x = 0 und somit habe ich oben auch für x=0
> gezeigt, dass es stetig differenzierbar ist für n<4?
nur dass du es nicht richtig formal gezeigt hast!
Gruss leduart
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Hi,
> warum hast du denn x gegen 0 betrachtet, wenn du nur
> x [mm]\in \IR \backslash[/mm] betrachtest?
> da gilt doch wieder Komposition stet, diffb. fkt ist stetig diffb.
Ich dachte ich muss prüfen für welche n f'(x) mit x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0} stetig ist? Dafür habe ich eine Null folge eingesetzt
[mm] x_m [/mm] = [mm] \frac{1}{m}
[/mm]
[mm] f'(\frac{1}{m}) [/mm] = [mm]5\frac{1}{m^4}sin(m^n)[/mm] - [mm]n\frac{1}{m^5} cos(m^n) {m^{n+1}[/mm] = [mm]5\frac{1}{m^4}sin(m^n)[/mm] - [mm]n cos(m^n)m^{n-4}[/mm]
so hier lasse ich [mm] m-->\infty [/mm] laufen. f'(x) ist genau dann stetig, wenn [mm] f'(x_m) [/mm] ----> 0 , [mm] m-->\infty
[/mm]
das tut es bei n<4
Ist das soweit richtig? Ich kann hier doch nicht sagen, dass f'(x) stetig ist weils eine Komposition stetige Fkt. ist?
Also muss ich doch nicht nur den fall x =0 betrachten, sondern bei der stetigen Differenzierbarkeit auch den fall x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0}
> Stetigkeit:
> |f(x) - f(0)| = [mm]|x^5 sin(\frac{1}{x^n})|[/mm] = [mm]|x|^5 |sin(\frac{1}{x^n})|[/mm]
> ----> 0 , x-->0 , da sin [mm]\in[/mm] [-1,1] => stetig für alle n
>
> Differenzierbarkeit:
> [mm]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/mm] = [mm]h^4 sin(\frac{1}{h^n})[/mm] ----> 0 ,
> h --> 0
Hier habe ich für denn Fall x=0 gezeigt das f(x) für alle n stetig und differenzierbar ist.Und das gilt f'(0) = 0
d.h. :
f'(x) = [mm] \begin{cases} 5x^4sin(\frac{1}{x^n}) - nx^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{x^{n+1}}, x \in \IR \backslash {0} \\ 0 , x=0 \end{case}
[/mm]
jetzt bleibt doch noch zu fragen, ob f'(x) in x=0 Stetig ist. D.h. es muss gelten : [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f'(x) = 0
[mm] 5x^4sin(\frac{1}{x^n}) [/mm] - [mm] nx^5 cos(\frac{1}{x^n}) \frac{1}{x^{n+1}} [/mm] ---> 0 , x-->0 n< 4
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Fr 28.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du die Stetigkeit an irgendeiner Stelle [mm] x_0 [/mm] ausser 0 untersuchen willst, dann kannst du doch nicht den GW für x gegen 0 betrachten, sondern müsstes den GW x gegen x_0betrachten. aber dine fkt ist ausserhalb nll steitif und n mal stetig differenzierbar, als komposition solcher funktionen. also musst du nur den Fall f'(x) für x gegen 0 betrachten.
dass es da stetig ist kannst du NICHT mit einer festen 0 Folge zeigen, sondern nur, wenn es für alle 0 Folgen denselben GW hat. du kannst also nicht mit [mm] x_m=1/m [/mm] arbeiten.
dass es nicht stetig ist für n> 4 kannst du mit einer Folge schon zeigen. das fehlt in diesem post allerdings. in vorigen war es nicht sehr schön.
Gruss leduart
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Hi,
> aber dine fkt ist ausserhalb nll steitif und n mal stetig differenzierbar, als
> komposition solcher funktionen.
Woran siehst du, dass es n mal stetig differenzierbar ist?
> dass es nicht stetig ist für n> 4 kannst du mit einer Folge schon zeigen. das
> fehlt in diesem post allerdings. in vorigen war es nicht sehr schön.
Meinst du jetzt bei mir in meinen Posts?
> dass es da stetig ist kannst du NICHT mit einer festen 0 Folge zeigen, sondern nur, wenn es für alle 0 Folgen denselben GW hat. du kannst also nicht mit [mm] x_m=1/m [/mm] arbeiten.
d.h. ich muss mit | f(x) - f(0)| ---> 0 arbeiten, oder ? Ich kenne nur die 2 Kriterien für stetigkeit
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wie oft kannst du [mm] x^5 [/mm] stetig ableiten) wie oft sin(x), wie oft [mm] 1/x^n [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0?
2. ja für die Stetigkeit der Ableizung musst du zeigen :
must du zeigen
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}|f'(x)-f'(0)|=0
[/mm]
das hast du doch auch bei der Stetigkeit von f selbst gemacht.
(ürft ihr die komischen Pfeile, unter denen nichts steht in Beweisen verwenden stat dem limes?
Gruss leduart
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Hi,
> 1. wie oft kannst du [mm] x^5 [/mm] stetig ableiten) wie oft sin(x), wie oft [mm] 1/x^n [/mm] für [mm] x\ne [/mm] 0?
Ok, ich sehe das man das n mal ableiten kann, aber wieso kann ich mir sicher sein, dass die n Ableitungen auch stetig sind?
> (ürft ihr die komischen Pfeile, unter denen nichts steht in Beweisen verwenden stat dem limes?
Ja das soll heißen es konvergiert gegen, aber ich bemühe mich hier die konventionelle Schreibweise zu benutzen :)
Nur zum Verständnis; würde ich die Stetigkeit von f' zeigen wollen, müsste ich [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} [/mm] |f'(x) - [mm] f'(x_0)| [/mm] = 0 , x [mm] \in \IR\backslash [/mm] {0} zeigen, richtig?
Aber hier sehe ich dass f(x) stetig differenzierbar ist für alle n und x [mm] \in \IR\backslash [/mm] {0} , wegen dem "Kompositionkriterium" .
D.h. ich betrachte nur den Fall x=0:
> Stetigkeit:
> [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] |f(x) - f(0)| = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}[/mm] [mm]|x^5 sin(\frac{1}{x^n})|[/mm] [mm] =\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] [mm]|x|^5 |sin(\frac{1}{x^n})|[/mm] = 0
> da sin [mm]\in[/mm] [-1,1] => stetig für alle n
>
> Differenzierbarkeit:
> [mm] \limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]\frac{f(0+h) - f(0)}{h}[/mm] [mm] =\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] [mm]h^4 sin(\frac{1}{h^n})[/mm]= 0 ,
>
stetig differenzierbar:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}|f'(x) [/mm] - f'(0)| = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}[/mm] [mm]5x^4 sin(\frac{1}{x^n})[/mm] - [mm]n cos(\frac{1}{x^n}) x^{4-n}[/mm] = [mm] \begin{cases} 0 , n<4 \\\pm 4, n=4 \\ \pm \infty , n>4 \end{cases}
[/mm]
somit ist f stetig differenzierbar an der Stelle x=0 für n < 4
Frage: konvergiert sind und cosinus wirklich gegen [mm] \pm [/mm] 1, kann man das so sagen?
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Sa 29.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, (nebenbei, wenn was n+1 mal differnzierbar ist ist sicher die nte Ableitung stetig! denn wenn diffbar dann stetig
zur letzten Frage.
Nein cos(1/x) für x gegen 0 kann jeden Wert zwischen + und - 1 annehmen!
nimm die gegen 0 konvergierende Folge [mm] x_n=1/(2n*\pi)
[/mm]
daraus [mm] cos(x_n)=1 [/mm] oder [mm] x_n=1/((2n+1)*\pi) cos(x_n)=-1
[/mm]
[mm] x_n=1/((n+0.5)*\pi) cos(x_n)=0 [/mm] du kannst andere Folgen nehmen, sodass [mm] cos(x_n)=0,5 [/mm] usw ist.
wenn du einfach [mm] x_n=1/n [/mm] nimmst wackelt [mm] cos(x_n) [/mm] zwischen -1 und +1 rum.
die Unstetigkeit zeigst du am einfachsten, indem du die erste oder 2 te meiner folgen nimmst. denn wenn es EINE Folg gibt, so das der GW nicht 0 ist, ist die fkt unstetig.
Dein $ [mm] \begin{cases} 0 , n<4 \\\pm 4, n=4 \\ \pm \infty , n>4 \end{cases} [/mm] $ ist also falsch,
schon [mm] lim...=\pm [/mm] 4 hinzuschreiben ist falsch.
lim ist ne Zahl, oder existiert nicht, es ist gerade noch zulässig hinzuschreiben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty
[/mm]
aber auch hier wäre besser : existiert nicht, weil für n gegen [mm] \infty, [/mm] jeder Wert überschritten wird.
aber dafür hat sich eben [mm] =\infty [/mm] als kurzschreibweise verbreitet.
Bei dir führte aber diese Kurzschreiweise zu dingen wie [mm] =>0*\infty [/mm] die dann sicher falsch sind.
Du darfst auch bei deiner Betrachtung nicht einfach für n>4 hinschreiben 0, sondern musst das herleiten, ebenso für n=4 und n<4 dass der GW nicht 0 ist.
bisher steht das bei allen 3 Fällen nur als Behauptung.
Gruss leduart
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Hi,
> Du darfst auch bei deiner Betrachtung nicht einfach für n>4 hinschreiben 0, sondern musst das herleiten, ebenso für n=4 und n<4 dass der GW nicht 0 ist.
> bisher steht das bei allen 3 Fällen nur als Behauptung.
für n > 4 wäre meine Begründung:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]} [/mm] - [mm] \underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]}\underbrace{ x^{4-n}}_{-->0} [/mm] = 0
n=4 :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]} [/mm] - [mm] \underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]} [/mm] = existiert nicht ( wie du begründet hast)
n<4 :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]} [/mm] - [mm] \underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]}\underbrace{ x^{4-n}}_{-->\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] , existiert also auch nicht
Snafu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Sa 29.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Hi,
>
> > Du darfst auch bei deiner Betrachtung nicht einfach für
> n>4 hinschreiben 0, sondern musst das herleiten, ebenso
> für n=4 und n<4 dass der GW nicht 0 ist.
> > bisher steht das bei allen 3 Fällen nur als Behauptung.
>
> für n > 4 wäre meine Begründung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]}[/mm]
> - [mm]\underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]}\underbrace{ x^{4-n}}_{-->0}[/mm]
> = 0
>
> n=4 :
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]}[/mm]
> - [mm]\underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]}[/mm] =
> existiert nicht ( wie du begründet hast)
... da limsup=n, liminf=-n, also existiert nicht.
> n<4 :
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \underbrace{5x^4 }_{--> 0} \underbrace{sin(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-1,1]}[/mm]
> - [mm]\underbrace{n cos(\frac{1}{x^n}) }_{\in [-n,n]}\underbrace{ x^{4-n}}_{-->\infty}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] , existiert also auch nicht
[mm] \infty [/mm] ist hier nicht der Grenzwert, sondern wieder mit liminf, limsup auf den Schluss kommen, dass der Grenzwert nicht existiert.
Ansonsten alles OK.
>
> Snafu
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Sa 29.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Dank!
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