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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie in den Punkten, in denen die Funktion differenzierbar ist die Ableitung:
(i) f: [mm] \IR \to \IR, x\mapsto [/mm] x|x|
(ii) g: [mm] \IR \to \IR, x\mapsto \begin{cases} x+1, & x\in]-\infty,0] \\ 2x+1, & x\in]0,\infty] \end{cases}
[/mm]
(iii) h: [mm] \IR \to \IR, x\mapsto \begin{cases} x^{2}+1, & x\le 1\\ -x^{2}+4x-1, & x>1 \end{cases} [/mm] |
Hallo, ich bräuchte ein paar Korrekturen und Tipps zur Formulierung.
(i)Obwohl |x| indifferenzierbar, gilt für x|x| Differenzierbarkeit über ganz [mm] \IR. [/mm] Wenn ich die Kurve sehe leuchtet mir auch ein, allerdings weiss ich nicht, wie ich das hinreichend beweisen kann...
Für [mm] x\le0 [/mm] gilt [mm] f(x)=-x^{2} [/mm] f'(x)=-2x; Für x>0 gilt [mm] f(x)=x^{2} [/mm] f'(x)=2x;
(ii)Diese Funktion ist alein dadurch nicht diffbar, da sie unstetig im Punkt f(0) ist. Soll ich jetzt wieder zwei Ableitungen bestimmen (2x und 2) oder bildet man an der Stelle keine Ableitung?
(iii)Die beiden Teilfunktionen sind differenzierbar und an der Nahtstelle herrscht Stetigkeit. Daher ist diese Funktion diffbar für [mm] x\le1 [/mm] f'(x)=2x und x>1 f'(x)=-2x+4;
Liebe Grüße
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Hallo Beowulf1980,
> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit
> und bestimmen Sie in den Punkten, in denen die Funktion
> differenzierbar ist die Ableitung:
>
> (i) f: [mm]\IR \to \IR, x\mapsto[/mm] x|x|
>
> (ii) g: [mm]\IR \to \IR, x\mapsto \begin{cases} x+1, & x\in]-\infty,0] \\ 2x+1, & x\in]0,\infty] \end{cases}[/mm]
>
> (iii) h: [mm]\IR \to \IR, x\mapsto \begin{cases} x^{2}+1, & x\le 1\\ -x^{2}+4x-1, & x>1 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo, ich bräuchte ein paar Korrekturen und Tipps zur
> Formulierung.
>
> (i)Obwohl |x| indifferenzierbar, gilt für x|x|
> Differenzierbarkeit über ganz [mm]\IR.[/mm] Wenn ich die Kurve sehe
> leuchtet mir auch ein, allerdings weiss ich nicht, wie ich
> das hinreichend beweisen kann...
Nun, außerhalb von 0 ist f eh diffbar als Produkt diffbarer Funktionen mit den Ableitungen, die du im Folgenden angegeben hast.
Für die Differenzierbarkeit in [mm] $x_0=0$ [/mm] stelle den Differenzenquotienten auf:
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\ldots$
[/mm]
> Für [mm]x\le0[/mm] gilt [mm]f(x)=-x^{2}[/mm]
> f'(x)=-2x;
Erstmal nur für $x<0$
> Für x>0 gilt
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] f'(x)=2x;
>
> (ii)Diese Funktion ist alein dadurch nicht diffbar, da sie
> unstetig im Punkt f(0) ist. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Funktion ist wunderbar stetig in 0 mit $f(0)=1$
> Soll ich jetzt wieder zwei
> Ableitungen bestimmen (2x und 2) oder bildet man an der
> Stelle keine Ableitung?
Spannend ist wieder lediglich die Nahstelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
Untersuche den links- und rechtsseitigen Limes des Differenzenquotienten ...
Liefern die denselben GW?
> (iii)Die beiden Teilfunktionen sind differenzierbar und an
> der Nahtstelle herrscht Stetigkeit. Daher ist diese
> Funktion diffbar für [mm]x\le1[/mm] f'(x)=2x und x>1 f'(x)=-2x+4;
Nein, erstmal ist sie nur für $x>1$ und $x<1$ diffbar, für die Diffbarkeit bei [mm] $x_0=1$ [/mm] musst du wieder den Differenzenquotienten aufstellen und dessen links- und rechtsseitigen Limes untersuchen.
Sind beide gleich, so ist die Fkt. diffbar.
>
> Liebe Grüße
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Do 03.06.2010 | | Autor: | stffn |
Guten Morgen!
Ich habe nochmal ein paar Fragen:
Stimmt es, dass rationale Funktionen IMMER auf ihrem def.-Bereich diffbar sind?
Wenn ich abschnittweise definierte Funktionen habe, muss ich einfach auf stetigkeit kontrollieren und weiß dann, wenn stetig, dass auch diffbar und andersrum?
Zu (i) nochmal:
Ich kann die Funktion doch auch so schreiben??:
[mm] f(x)=\begin{cases} -x^{2}, & \mbox{für } x<0 \\ x^{2}, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
Meine Rechnung dazu:
Von links an [mm] x_{0}=0 [/mm] angenähert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-x^{2}-0}{x-0}=-x=0
[/mm]
Von rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^{2}-0}{x-0}=x=0
[/mm]
Was weiß ich davon, wenn es denn überhaupt richtig ist bis dahin? Kann man einfach sagen, dass die Funktion stetig und somit diffbar ist?
Wäre sehr nett wenn mir hier jemand helfen könnte, einen schönen Tag noch!
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Hallo stffn,
> Guten Morgen!
> Ich habe nochmal ein paar Fragen:
> Stimmt es, dass rationale Funktionen IMMER auf ihrem
> def.-Bereich diffbar sind?
Ja, eine (gebrochen) rationale Funktion ist als Quotient zweier Polynome auf ihrem gesamten Definitionsbereich diffbar.
> Wenn ich abschnittweise definierte Funktionen habe, muss
> ich einfach auf stetigkeit kontrollieren und weiß dann,
> wenn stetig, dass auch diffbar und andersrum?
Aus Diffbarkeit folgt Stetigkeit, aber nicht umgekehrt.
So ist etwa die Funktion $f(x)=|x|$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] zwar stetig, aber nicht diffbar!
> Zu (i) nochmal:
>
> Ich kann die Funktion doch auch so schreiben??:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x^{2}, & \mbox{für } x<0 \\ x^{2}, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Meine Rechnung dazu:
>
> Von links an [mm]x_{0}=0[/mm] angenähert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-x^{2}-0}{x-0}=\red{\lim\limits_{x\to 0^{-}}-x=0[/mm]
>
> Von rechts:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^{2}-0}{x-0}=\red{\lim\limits_{x\to 0^+}x=0[/mm]
>
> Was weiß ich davon, wenn es denn überhaupt richtig ist
> bis dahin?
Ja, du hast lediglich vergessen, dass [mm] $\lim\limits_{x\to 0}$ [/mm] am Ende aufzuschreiben ...
> Kann man einfach sagen, dass die Funktion stetig
> und somit diffbar ist?
Nein, siehe oben.
Du kannst aber sagen: Die Funktion ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] nach der obigen Rechnung diffbar, damit also auch stetig in [mm] $x_0=0$
[/mm]
>
> Wäre sehr nett wenn mir hier jemand helfen könnte, einen
> schönen Tag noch!
Ebenso
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 03.06.2010 | | Autor: | stffn |
Ok, also kann ich nur sagen ob Funktionen in einem bestimmten Punkt diffbar sind?
Nach der Aufgabenstellung muss ich aber doch für alle Punkte, in denen die Funktion diffbar ist, die Ableitung machen. Wenn ich jetzt Sage, die Funktion ist für [mm] x_{0} [/mm] diffbar, müsste ich also dafür auch die Abl. machen, also [mm] f'(x\ge0)=2x. [/mm] Woher weiß ich denn jetzt, ob die Funktion z.B. in x=-1 diffbar ist? Müsste ich das mit den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert theoretisch für jede einzelne Zahl machen?
Also meine Frage ist eigentlich, ob ich nicht obige Ableitung machen kann und dazu noch die Ableitung für x<0, also f'(x<0)=-2x, und ob die dann nicht automatisch für alle x von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und von 0 bis [mm] \infty [/mm] gelten würden, was ja heißen würde, dass f(x) nicht nur für [mm] x_{0} [/mm] sondern für alle x diffbar ist? Ich bin verwirrt...
Den Unterschied zwischen stetigkeit und diffbarkeit habe ich ehrlich gesagt noch nicht so richtig verstanden. Warum ist denn |x| nicht diffbar? Wäre nicht für f(x)=a|x| die Ableitung f'(x)=a?
Ich hoffe ich war nicht zu wirr.
Schöne Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 03.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, also kann ich nur sagen ob Funktionen in einem
> bestimmten Punkt diffbar sind?
> Nach der Aufgabenstellung muss ich aber doch für alle
> Punkte, in denen die Funktion diffbar ist, die Ableitung
> machen. Wenn ich jetzt Sage, die Funktion ist für [mm]x_{0}[/mm]
> diffbar, müsste ich also dafür auch die Abl. machen, also
> [mm]f'(x\ge0)=2x.[/mm] Woher weiß ich denn jetzt, ob die Funktion
> z.B. in x=-1 diffbar ist? Müsste ich das mit den
> linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert theoretisch für
> jede einzelne Zahl machen?
Nein, nur für die "kritischen Stellen", also an den Stellen, also an den Stellen, an denen sich irgendwie der Verlauf ändert, sei es durch einen neuen Abschnitt oder bei Betragsteilen die Nullstelle
>
> Also meine Frage ist eigentlich, ob ich nicht obige
> Ableitung machen kann und dazu noch die Ableitung für x<0,
> also f'(x<0)=-2x, und ob die dann nicht automatisch für
> alle x von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und von 0 bis [mm]\infty[/mm] gelten
> würden, was ja heißen würde, dass f(x) nicht nur für
> [mm]x_{0}[/mm] sondern für alle x diffbar ist? Ich bin verwirrt...
>
> Den Unterschied zwischen stetigkeit und diffbarkeit habe
> ich ehrlich gesagt noch nicht so richtig verstanden. Warum
> ist denn |x| nicht diffbar? Wäre nicht für f(x)=a|x| die
> Ableitung f'(x)=a?
Nein. Dazu erstmal ein Link zur  Betragsfunktion. $ [mm] |x|:=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{falls\, } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{falls\, } x < 0 \end{matrix}\right. [/mm] $
An der Stelle x=0 hast du eine kritische Stelle.
Wenn du von links im Ursprung eine Tangente anlegst (und nix anderes tust du beim Differenzieren) hat diese die Steigung -1, wenn du von rechts eine Tangente anlegst, hat diese sie Steigung +1, also hast du eine Stelle, an der je nach herangehensweise unterschiedliche Tangentensteigungen vorhanden sind.
Für Stetigkeit einer Funktion muss dagegen der normale Funktionswert übereinstimmen, und das ist hier gegeben, denn es gilt [mm] \limes_{x\to0}|x|=0, [/mm] egal von wo man sich an O(0/0) annähert.
>
> Ich hoffe ich war nicht zu wirr.
> Schöne Grüße
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Do 03.06.2010 | | Autor: | stffn |
Vielen Dank, das war mal eine sehr gute Erklärung.
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