Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} e^\bruch{-1}{\left| x\right| }, & \mbox{}x\not= 0 \mbox{} \\ 0, & \mbox{ } x=0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ist f stetig?
Ist f differenzierbar?
ist f zweimal diffbar? |
Hallo zusammen.
Ich möchte Frage,ob es reicht zu zeigen, dass die Ableitung existiert. Aus Differenzierbarkiet folgt ja Stetigkeit.Doch beim berechnen des Limes bin ich mir nicht ganz sicher.Ich schaue einfach ob die Funktion in x=0 diffbar ist.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{1}{h}*e^\bruch{-1}{\left| h\right| }=0 [/mm]
somit wäre sie diffbar..
Ich weiss einfach nicht recht wie sich
[mm] \limes_{x\rightarrow 0 } e^\bruch{-1}{\left| x\right| }=
[/mm]
verhält. Möchte ich Stetigkeit der Funktion zeigen, müsste ich ja auch diesen Limes zeigen, da exp stetig ist für alle x ungleich null. somit müsste nur zeigen, dass dieser Limes gegen 0 strebt. Doch genau da scheitere ich.. Ich vermute er geht gegen 1 ..
Freundliche Grüsse
Matts
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mo 13.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^\bruch{-1}{\left| x\right| }, & \mbox{}x\not= 0 \mbox{} \\
0, & \mbox{ } x=0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ist f stetig?
> Ist f differenzierbar?
> ist f zweimal diffbar?
> Hallo zusammen.
>
> Ich möchte Frage,ob es reicht zu zeigen, dass die
> Ableitung existiert. Aus Differenzierbarkiet folgt ja
> Stetigkeit.Doch beim berechnen des Limes bin ich mir nicht
> ganz sicher.Ich schaue einfach ob die Funktion in x=0
> diffbar ist.
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{f(h)-f(0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{1}{h}*e^\bruch{-1}{\left| h\right| }=0[/mm]
> somit wäre sie diffbar..
>
> Ich weiss einfach nicht recht wie sich
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0 } e^\bruch{-1}{\left| x\right| }=[/mm]
>
> verhält. Möchte ich Stetigkeit der Funktion zeigen,
> müsste ich ja auch diesen Limes zeigen, da exp stetig ist
> für alle x ungleich null. somit müsste nur zeigen, dass
> dieser Limes gegen 0 strebt. Doch genau da scheitere ich..
> Ich vermute er geht gegen 1 ..
Das siehst du falsch.
Es gilt:
[mm] \limes_{x\to0}e^{\bruch{-1}{|x|}}=e^{
\limes_{x\to0}\bruch{-1}{|x|}}=\ldots
[/mm]
Den Schritt müsstest du aber noch begründen.
Und [mm] \limes_{x\to0}\bruch{-1}{|x|} [/mm] kennst du, oder?
>
> Freundliche Grüsse
>
> Matts
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
danke für die schnelle Antwort.
das ich den Limes rauf nehmen kann wusste ich.
Der Grenzwert
$ [mm] \limes_{x\to0}\bruch{-1}{|x|} [/mm] $
gibt doch unendlich,oder? aber das wäre nicht so befriedigend ...
lg matts
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Hiho,
> [mm]\limes_{x\to0}\bruch{-1}{|x|}[/mm]
>
> gibt doch unendlich,oder? aber das wäre nicht so
> befriedigend ...
Achte mal aufs Vorzeichen....... dann ist auch alles richtig.
Und ja, du hattest Differenzierbarkeit ja bereits gezeigt, insofern folgt die Stetigkeit auch direkt.
Eine Frage an dich allerdings noch, du meintest bei der Differenzierbarkeit ja:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0 } \bruch{1}{h}\cdot{}e^\bruch{-1}{\left| h\right| }=0 [/mm] $
Woher weißt du, dass der letzte Grenzwert gegen 0 geht?
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
ach ja das Minus..ja dann hat sich alles geklärt =)
Danke vielmals für euren Einsatz!
Lg matts
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
erlich gesagt habe ich nicht viel gedacht. jetzt sehe ich gerade, dass dieser Grenzwert [mm] \infty [/mm] * 0 ist. In solchen Fällen könnte man L'Hopital anwenden? doch einen Betrag ableiten habe ich noch nie gmacht .. und i vermute das dieses Vorgehen nicht gerade gut ist ..
matts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 13.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> erlich gesagt habe ich nicht viel gedacht. jetzt sehe ich
> gerade, dass dieser Grenzwert [mm]\infty[/mm] * 0 ist.
Nein.
> In solchen Fällen könnte man L'Hopital anwenden?
Auch nein.
> doch einen Betrag ableiten habe ich noch nie gmacht .. und i vermute > das dieses Vorgehen nicht gerade gut ist ..
Das Stimmt, die Betragsfunktion f(x)=|x| ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar.
>
> matts
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
Und wieso ist der Grenzwert nicht [mm] \infty [/mm] *0 ?
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] , wenn [mm] x\to [/mm] 0
und [mm] e^\bruch{-1}{\left| x\right| } [/mm] geht gegen 0, wenn [mm] x\to [/mm] 0
oder bin ich schon wieder total falsch??
matts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und wieso ist der Grenzwert nicht [mm]\infty[/mm] *0 ?
>
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] geht gegen [mm]\infty[/mm] , wenn [mm]x\to[/mm] 0
in Wahrheit existiert [mm] $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ [/mm] (in [mm] $\IR \cup \{\pm \infty\}$) [/mm] nicht, da der linksseitige GW hier [mm] $-\infty\,,$ [/mm] und der rechtsseitige $+ [mm] \infty$ [/mm] ist. Du meinst
[mm] $$\frac{1}{|x|} \to \infty \;\;(x \to 0)\,.$$
[/mm]
>
> und [mm]e^\bruch{-1}{\left| x\right| }[/mm] geht gegen 0, wenn [mm]x\to[/mm]
> 0
>
> oder bin ich schon wieder total falsch??
>
> matts
Nein, das stimmt, denn es strebt
$$-1/|x| [mm] \to -\infty \;\;\;(x \to 0)\,,$$
[/mm]
und ferner gilt daher (bei $x [mm] \to [/mm] 0$)
[mm] $$e^{-1/|x|} \to \text{"} e^{-\infty}\text{"}=\exp({\lim\limits_{y \to -\infty}y})=0\,.$$
[/mm]
Alternativ:
Wir setzen [mm] $y=1/|x|\,,$ [/mm] dann gilt
$$x [mm] \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=1/|x| [mm] \to \infty$$
[/mm]
und wegen [mm] $e^{y} \to \infty$ [/mm] ($y [mm] \to \infty$) [/mm] folgt somit
[mm] $$\lim_{x \to 0}e^{-1/|x|}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{e^{1/|x|}}=\lim_{y \to \infty}\frac{1}{e^y}=0\,.$$
[/mm]
Nur:
Da steht nun sowas wie [mm] $e^{-\infty}\,.$ [/mm] Wo ist denn da ein Term der Form [mm] $\infty*0$?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Matts |
das [mm] \infty [/mm] * 0 habe ich vom grenzwert:
[mm] \lim_{x \to 0}\bruch {1}{x}e^{-1/|x|}=\infty* [/mm] 0
und das wäre undefiniert.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matts!
[mm]0*\infty[/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, der aber durchaus einen "richtigen" Grenzwert ergeben kann.
Betrachte [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\exp\left(-\bruch{1}{|x|}\right)}{x}[/mm] und wende  de l'Hospital an.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
auf den Grenzwert, wie er da steht, kann man kein l'Hospital anwenden.
Insbesondere ist die Differenzierbarkeit des Zählers gar nicht bekannt und soll ja erst bewiesen werden.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich weiß, es ist jetzt ein wenig klugscheißerisch, aber die Sprechweise
> Woher weißt du, dass der letzte Grenzwert gegen 0 geht?
suggeriert leider etwas total falsches. Ein Grenzwert geht (normalerweise) nirgendwohin, denn das ist ein fester Wert. Meinetwegen strebt hier eine (oder jede) Folge mit einer gewissen Eigenschaft, oder meinetwegen auch ein (Funktions-)Term gegen einen (Grenz-)Wert. Aber der Wert macht nichts, außer da zu verbleiben, wo er schon immer war.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mo 13.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Danke für die Korrektur 
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