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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
[mm] x\mapsto [/mm] f(x):= [mm] \begin{cases} ax^{3}+bx+3 & \mbox{für } |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}-3 & \mbox{für } |x-1|>1 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie die Parameter a und b, so dass f in x=2 differenzierbar ist. (Rechnung!)
Ist f für diese Parameter auch in x=0 differenzierbar? (Begründung!) |
Hallo, ich rechne zur Übung ein paar alte Klausuraufgaben und hänge bei dieser fest. Mein bisheriger Lösungsansatz lautet wie folgt:
Die Funktion ist in x=2 differenzierbar, wenn gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^{-}} \\f(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 2^{+}} \\f(x) [/mm] = [mm] \\f(2)
[/mm]
[mm] \\f(2) [/mm] = [mm] \\8a+2b+3
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)=\limes_{x\rightarrow 2^{+}} ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x-3 [/mm] = [mm] 4a+b^{2}-2
[/mm]
Auflösen der Gleichung nach a:
[mm] (1)\\8a+2b+3=4a+b^{2}-3
[/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{b^{2}-2b-6}{4}
[/mm]
Wenn ich a nun in die Gleichung 1 einsetze, bekomme ich unmögliche Ergebnisse raus, könnte mir jemand helfen wo der Fehler liegt, bzw. ob bei meinen bisherigen Gedankengang etwas falsch ist.
Vielen Dank im Voraus
schwenker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schwenker,
es sind ja zwei Parameter zu bestimmen. Du wirst also auch zwei Bedingungen brauchen. Die eine davon hast Du schon: der Funktionswert bei x=2 muss gleich sein. Dann ist die Funktion stetig. Übrigens brauchst du hier nur auf einer Seite den Grenzwert zu bilden, denn in x=2 ist die Funktion ja definiert. Achte auf das "kleiner/gleich"-Zeichen!
Die zweite Bedingung gewinnst Du aus der Differenzierbarkeit. Da muss für die beiden Seiten der Definition nämlich was genau übereinstimmen?
Wenn Du dann a und b so gewählt hast, dass die Funktion bei x=2 stetig und differenzierbar ist (letzteres schließt ja ersteres mit ein), dann kannst Du Dir noch die andere "Flickstelle" bei x=0 anschauen.
Aber jetzt stell erst mal die zweite Bedingung auf und zeig, was Du mit den beiden Bedingungen anfängst.
Viel Erfolg!
reverend
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Vielen Dank reverend für deine Hilfe,
also meine 1. Bedingung lautet: $ [mm] (1)\\8a+2b+3=4a+b^{2}-3 [/mm] $
Für die Differenzierbarkeit müsste gelten, dass ein Grenzwert an der Stelle x=2 existiert. Also bilde ich die Ableitung der beiden Funktionsstränge an der Stelle x=2 und setze diese gleich.
Die 2. Bedingung lautet also: [mm] $(2)\\12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2}
[/mm]
Nun würde ich versuchen nach a aufzulösen und dann das a in die Gleichung einsetzen um b herauszubekommen. Hier hänge ich leider fest, wenn ich nach a auflöse bekomme ich unmögliche Ergebnisse raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo schwenker!
> also meine 1. Bedingung lautet: [mm](1)\\
8a+2b+3=4a+b^{2}-3[/mm]
Hier fehlt rechts noch einmal der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] .
> Die 2. Bedingung lautet also:
> [mm]$(2)\\
12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Ableitung der rechten Seite stimmt nicht!
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | $ [mm] \begin{cases} ax^{3}+bx+3 & \mbox{für } |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x-3 & \mbox{für } |x-1|>1 \end{cases} [/mm] $ |
Ach mist, hab bei der Aufgabenstellung ein x hinter dem [mm] \bruch{1}{1} b^{2} [/mm] bei dem 2.Funktionsstrang unterschlagen, sorry :( also hab die Funktion nun richtig oben aufgeschrieben Es muss [mm] ax^{2}+\bruch{1}{1} b^{2}x-3 [/mm] heissen.
Hab beide Bedingungen nochmal nachgerechnet und komme weiterhin auf diese Ergebnisse:
$ [mm] (1)\\ 8a+2b+3=4a+b^{2}-3 [/mm] $
[mm] $(2)\\ 12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2} [/mm] $
Wie bekomme ich nun am besten a und b raus? nach a auflösen und einsetzen bringt mich leider nicht weiter :(
bitte nochmal vielmals um entschuldigung für die falsche aufgabenstellung :(
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Hallo schwenker,
> [mm]\begin{cases} ax^{3}+bx+3 & \mbox{für } |x-1|\le1 \\ ax^{2}+\bruch{1}{2}b^{2}x-3 & \mbox{für } |x-1|>1 \end{cases}[/mm]
>
> Ach mist, hab bei der Aufgabenstellung ein x hinter dem
> [mm]\bruch{1}{1} b^{2}[/mm] bei dem 2.Funktionsstrang
> unterschlagen, sorry :( also hab die Funktion nun richtig
> oben aufgeschrieben Es muss [mm]ax^{2}+\bruch{1}{1} b^{2}x-3[/mm]
> heissen.
>
> Hab beide Bedingungen nochmal nachgerechnet und komme
> weiterhin auf diese Ergebnisse:
>
> [mm](1)\\ 8a+2b+3=4a+b^{2}-3[/mm]
> [mm](2)\\ 12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2}[/mm]
>
> Wie bekomme ich nun am besten a und b raus? nach a
> auflösen und einsetzen bringt mich leider nicht weiter :(
>
Nun, subtrahiere vom 2fachen der Gleichung (1), die Gleichung (2).
Dann erhältst Du eine quadratische Gleichung für b.
Für a geht das analog.
> bitte nochmal vielmals um entschuldigung für die falsche
> aufgabenstellung :(
>
Gruss
MathePower
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So, meine endgültige Lösung sieht wiefolgt aus:
$ [mm] (1)\\ 8a+2b+3=4a+b^{2}-3 [/mm] $ [mm] |\*2
[/mm]
$ [mm] (2)\\ 12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2} [/mm] $
--------------------------------------------------------------
$ [mm] (1)\\ 8a+4b-2b^{2}+12=0 [/mm] $ |-(2)
$ [mm] (2)\\ 8a+b-\bruch{1}{2}b^{2}=0$
[/mm]
--------------------------------------------------------------
$ [mm] (1)\\ -\bruch{3}{2}b^{2}+3b+12=0 [/mm] $ [mm] |\*-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] b^{2}-2b-8=0 [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] (b+2)\*(b-4) [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] b=-2 v b=4 ----> einsetzen in (1) um a zu berechnen
----------------------------------------------
b=-2
4a-4+3=4-3
[mm] a=\bruch{1}{2} [/mm]
b=4
4a+8+3=16-3
[mm] a=\bruch{1}{2} [/mm]
Wenn ich [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] und b=-2 in die Ausgangsfunktion einsetze, bekomme ich als Ergebnis 3 heraus. Analog für b=4 bekommen ich 15 raus. Kann das stimmen?
Gruß schwenker
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Hallo schwenker,
> So, meine endgültige Lösung sieht wiefolgt aus:
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> [mm](1)\\ 8a+2b+3=4a+b^{2}-3[/mm] [mm]|\*2[/mm]
> [mm](2)\\ 12a+b=4a+\bruch{1}{2}b^{2}[/mm]
>
> --------------------------------------------------------------
> [mm](1)\\ 8a+4b-2b^{2}+12=0[/mm] |-(2)
> [mm](2)\\ 8a+b-\bruch{1}{2}b^{2}=0[/mm]
>
> --------------------------------------------------------------
> [mm](1)\\ -\bruch{3}{2}b^{2}+3b+12=0[/mm] [mm]|\*-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]b^{2}-2b-8=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm](b+2)\*(b-4)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] b=-2 v b=4 ----> einsetzen in (1) um a zu berechnen
> ----------------------------------------------
> b=-2
> 4a-4+3=4-3
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> b=4
> 4a+8+3=16-3
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wenn ich [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm] und b=-2 in die Ausgangsfunktion
> einsetze, bekomme ich als Ergebnis 3 heraus. Analog für
> b=4 bekommen ich 15 raus. Kann das stimmen?
Ja, das stimmt.
>
> Gruß schwenker
Gruss
MathePower
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Heisst das nun, dass es zwei Lösungen gibt?
Die Funktion ist in x=2 für a=0,5 und b=-2 sowie a=0,5 und b=4 differenzierbar?
In x=0 ist f nicht differenzierbar, da bei einsetzen von x=0 bei dem ersten Funktionsstrang immer 3 und beim zweiten Funktionsstrang immer -3 herauskommt?
Gruß schwenker
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Hallo schwenker,
> Heisst das nun, dass es zwei Lösungen gibt?
Ja.
> Die Funktion ist in x=2 für a=0,5 und b=-2 sowie a=0,5
> und b=4 differenzierbar?
Ja.
>
> In x=0 ist f nicht differenzierbar, da bei einsetzen von
> x=0 bei dem ersten Funktionsstrang immer 3 und beim zweiten
> Funktionsstrang immer -3 herauskommt?
Ja.
>
> Gruß schwenker
Gruss
MathePower
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