Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 03.04.2011 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
habe hier alte Prüfungsprotokolle für meine Prüfung nächste Woche, dabei bin ich auf ne Frage gestoßen, bei der ich nicht weiterkomme, wäre sehr nett, wenn mir jemadn helfen könnte :)
Folgende Frage: Ist die Funktion diffbar in (0,0)
[mm] f(nx,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } (x,y) = (0,0) \\ \bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
habe leider keine große idee dazu, bzw. bin der Meinung, dass sie nicht diffbar ist, weil sie ja, wenn sie plötzlich null ist und davor und danach nicht irgendwie einen knick haben muss oder gar nicht komplett definiert ist...
hab ich damit irgendwie recht? eine diffbare funktion ist doch immer stetig, ich weiß dass nicht aus stetigkeit diffbarkeit folgt, aber wenn sie nicht mal stetig ist (und ich denke in (0,0) ist sie das nicht) dann kann sie doch auch nicht diffbar sein....
Danke, wenn jemand meine gedanken orden kann/mir sagen kann, wies richtig ist =)
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Hallo cmueller,
> Hallo zusammen,
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> habe hier alte Prüfungsprotokolle für meine Prüfung
> nächste Woche, dabei bin ich auf ne Frage gestoßen, bei
> der ich nicht weiterkomme, wäre sehr nett, wenn mir jemadn
> helfen könnte :)
>
> Folgende Frage: Ist die Funktion diffbar in (0,0)
>
> [mm]f(nx,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } (x,y) = (0,0) \\
\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
Das "n" ist zuviel, oder??
>
>
> habe leider keine große idee dazu, bzw. bin der Meinung,
> dass sie nicht diffbar ist, weil sie ja, wenn sie
> plötzlich null ist und davor und danach nicht irgendwie
> einen knick haben muss oder gar nicht komplett definiert
> ist...
> hab ich damit irgendwie recht? eine diffbare funktion ist
> doch immer stetig, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ich weiß dass nicht aus stetigkeit
> diffbarkeit folgt,
Du meinst [mm]\text{stetig} \ \not\Rightarrow \ \text{diffbar}[/mm]
Das stimmt, beachte etwa [mm]f:\IR\to\IR, x\mapsto |x|[/mm]
Das ist in [mm]x=0[/mm] stetig, aber nicht diffbar
> aber wenn sie nicht mal stetig ist (und
> ich denke in (0,0) ist sie das nicht) dann kann sie doch
> auch nicht diffbar sein....
Durch Übergang zu Polarkoordinaten etwa, sieht man doch sehr schnell ein, dass die Funktion in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig sein kann:
[mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]
Dann [mm]f(r,\varphi)=\sin(\varphi)\cos(\varphi)[/mm]
Und das strebt doch für [mm]r\to 0[/mm] nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]0=f(0,0)[/mm]
Das würde vermutlich schon reichen in einer mündl. Prüfung.
Sonst gib einfach eine Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] an mit [mm](x_n,y_n)\to (0,0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], aber [mm]f(x_n,y_n)\not\to 0=f(0,0)[/mm]
Eine Bsp.-Folge, die dir die Stetigkeit kaputt macht, ist aufgrund der doch recht einfachen Struktur von [mm]f[/mm] schnell gefunden.
Probiere mal [mm]\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] aus ...
>
> Danke, wenn jemand meine gedanken orden kann/mir sagen
> kann, wies richtig ist =)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 03.04.2011 | | Autor: | cmueller |
> Hallo cmueller,
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> > Hallo zusammen,
> >
> > habe hier alte Prüfungsprotokolle für meine Prüfung
> > nächste Woche, dabei bin ich auf ne Frage gestoßen, bei
> > der ich nicht weiterkomme, wäre sehr nett, wenn mir jemadn
> > helfen könnte :)
> >
> > Folgende Frage: Ist die Funktion diffbar in (0,0)
> >
> > [mm]f(nx,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } (x,y) = (0,0) \\
\bruch{xy}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Das "n" ist zuviel, oder??
>
stimmt, das n ist zuviel ;)
>
> >
> >
> > habe leider keine große idee dazu, bzw. bin der Meinung,
> > dass sie nicht diffbar ist, weil sie ja, wenn sie
> > plötzlich null ist und davor und danach nicht irgendwie
> > einen knick haben muss oder gar nicht komplett definiert
> > ist...
> > hab ich damit irgendwie recht? eine diffbare funktion
> ist
> > doch immer stetig, ich weiß dass nicht aus stetigkeit
> > diffbarkeit folgt,
>
> Du meinst [mm]\text{stetig} \ \not\Rightarrow \ \text{diffbar}[/mm]
>
> Das stimmt, beachte etwa [mm]f:\IR\to\IR, x\mapsto |x|[/mm]
>
> Das ist in [mm]x=0[/mm] stetig, aber nicht diffbar
>
> > aber wenn sie nicht mal stetig ist (und
> > ich denke in (0,0) ist sie das nicht) dann kann sie doch
> > auch nicht diffbar sein....
>
>
>
> Durch Übergang zu Polarkoordinaten etwa, sieht man doch
> sehr schnell ein, dass die Funktion in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig
> sein kann:
>
> [mm]x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)[/mm]
>
> Dann [mm]f(r,\varphi)=\sin(\varphi)\cos(\varphi)[/mm]
muss es nicht heißen: [mm]f(r,\varphi)=r\sin(\varphi)r\cos(\varphi)[/mm] ?
>
> Und das strebt doch für [mm]r\to 0[/mm] nicht unabh. vom Winkel
> [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]0=f(0,0)[/mm]
>
>
> Das würde vermutlich schon reichen in einer mündl.
> Prüfung.
kann ich mir immer, wenn ich eine funktion im [mm] \IR^{2} [/mm] hab und nicht weiterkomme die polarkoordinaten angucken? (bzw im [mm] \IR^{3} [/mm] kugel- oder zylinderkoordinaten? und wann was? )
>
> Sonst gib einfach eine Folge [mm](x_n,y_n)_{n\in\IN}[/mm] an mit
> [mm](x_n,y_n)\to (0,0)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], aber [mm]f(x_n,y_n)\not\to 0=f(0,0)[/mm]
>
> Eine Bsp.-Folge, die dir die Stetigkeit kaputt macht, ist
> aufgrund der doch recht einfachen Struktur von [mm]f[/mm] schnell
> gefunden.
>
> Probiere mal [mm]\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm]
> aus ...
>
>
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> >
> > Danke, wenn jemand meine gedanken orden kann/mir sagen
> > kann, wies richtig ist =)
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja dass |f(x,y)-f(0,0)|< [mm] \epsilon [/mm] in jeder Kreis bzw Kugelumgebung von 0 ist, und kreis oder kugelumgebung mit radius [mm] \delta [/mm] beschreibt man am besten mit polarkoordinaten. deshalb ja!
der GW für r gegen 0 muss dann unabhängig vom Winkel f(0,0) sein
gruss leduart
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