Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x,y) = [mm] \wurzel{|xy|}
[/mm]
Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht differenzierbar. |
Hallo Leute,
ich sitze gerade vor einem Problem.
Ich soll zeigen, dass f nicht differenzierbar in (0,0) sei.
Der Übungsleiter meinte, wir sollen mit der Restfunktion arbeiten.
R(x,y) = f(x,y) - f(0,0) - [0 0] * [mm] \vmat{ x-0 \\ y-0 } [/mm] = f(x,y)
Dann:
[mm] \limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \bruch{R(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] = [mm] \limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}}
[/mm]
Dann abschätzen:
[mm] \wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}} [/mm] < [mm] \wurzel{|xy|}
[/mm]
Und:
[mm] \limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \wurzel{|xy|} [/mm] = 0
Somit ist doch die Voraussetzung für die Differenzierbarkeit gegeben.
Oder irre ich mich da?
Schonmal danke für die Antworten.
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> f(x,y) = [mm]\wurzel{|xy|}[/mm]
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> Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht differenzierbar.
> Hallo Leute,
>
> ich sitze gerade vor einem Problem.
>
> Ich soll zeigen, dass f nicht differenzierbar in (0,0)
> sei.
> Der Übungsleiter meinte, wir sollen mit der Restfunktion
> arbeiten.
Mal ganz abgesehen von diesem Ratschlag:
es würde doch genügen, zu zeigen, dass die Restriktion
von f auf eine durch (0,0) gehende Gerade, also beispiels-
weise die Gerade mit y=x , im Nullpunkt nicht differenzierbar
ist.
LG Al-Chw.
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Aber ich will doch mit der Restfunktion machen...
Oder ist das nicht machbar?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Sa 17.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast
[mm] $R(x,y)=\wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}}$
[/mm]
Setze mal x=y. Geht R(x,x) gegen 0 für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Sa 17.09.2011 | | Autor: | hippias |
> Dann abschätzen:
> [mm]\wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}}[/mm] < [mm]\wurzel{|xy|}[/mm]
>
Das Problem der Deiner Ueberlegung ist, dass diese Abschaetzung nicht richtig ist fuer [mm] $x^2+y^2<1$ [/mm] und das ist genau der Fall, der uns hier interessiert. Auch ich wuerde nicht so gerne mit der Restfunktion machen - klingt irgendwie unanstaendig - sondern eher auch eine bestimmte Gerade betrachten.
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Moin,
> f(x,y) = [mm]\wurzel{|xy|}[/mm]
>
> Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht differenzierbar.
> Hallo Leute,
>
> ich sitze gerade vor einem Problem.
>
> Ich soll zeigen, dass f nicht differenzierbar in (0,0) sei.
> Der Übungsleiter meinte, wir sollen mit der Restfunktion
> arbeiten.
>
> R(x,y) = f(x,y) - f(0,0) - [0 0] * [mm]\vmat{ x-0 \\ y-0 }[/mm] = f(x,y)
>
> Dann:
>
> [mm]\limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \bruch{R(x,y)}{||(x,y)||}[/mm] = [mm]\limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}}[/mm]
>
Um zu zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, kannst du auch Folgen in [mm] \IR^2 [/mm] wählen, die gegen (0,0) konvergieren, aber unterschiedliche Grenzwerte liefern.
Beispiel: [mm] a_n=(0,1/n), [/mm] dann [mm] \frac{R(a_n)}{\parallel a_n\parallel}=\wurzel{\bruch{|0*1/n|}{(0^2+(1/n)^2)}}=0\to0,n\to\infty.
[/mm]
Und nun noch eine weitere Folge mit anderem Ergebnis. Zum Beispiel [mm] b_n=(1/n,1/n). [/mm] Das liefert [...]
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Sa 17.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin,
> > f(x,y) = [mm]\wurzel{|xy|}[/mm]
> >
> > Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht differenzierbar.
> > Hallo Leute,
> >
> > ich sitze gerade vor einem Problem.
> >
> > Ich soll zeigen, dass f nicht differenzierbar in (0,0)
> sei.
> > Der Übungsleiter meinte, wir sollen mit der
> Restfunktion
> > arbeiten.
> >
> > R(x,y) = f(x,y) - f(0,0) - [0 0] * [mm]\vmat{ x-0 \\ y-0 }[/mm] =
> f(x,y)
> >
> > Dann:
> >
> > [mm]\limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \bruch{R(x,y)}{||(x,y)||}[/mm] =
> [mm]\limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \wurzel{\bruch{|xy|}{(x^2+y^2)}}[/mm]
>
> >
> Um zu zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, kannst
> du auch Folgen in [mm]\IR^2[/mm] wählen, die gegen (0,0)
> konvergieren, aber unterschiedliche Grenzwerte liefern.
>
> Beispiel: [mm]a_n=(0,1/n),[/mm] dann [mm]\frac{R(a_n)}{\parallel a_n\parallel}=\wurzel{\bruch{|0*1/n|}{(0^2+(1/n)^2)}}=0\to0,n\to\infty.[/mm]
>
> Und nun noch eine weitere Folge mit anderem Ergebnis. Zum
> Beispiel [mm]b_n=(1/n,1/n).[/mm] Das liefert [...]
>
>
> LG
Um zu zeigen, dass f in (0,0) nicht differenzierbar ist, ist zu zeigen, dass
$ [mm] \limes_{((x,y)\rightarrow\ 0)} \bruch{R(x,y)}{||(x,y)||} \ne [/mm] 0 $
ist (oder der Grenzwert nicht existiert).
Wie man das machen kann habe ich hier
https://matheraum.de/read?i=820475
erwähnt.
FRED
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