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Hallo,
ich möchte von einer Funktion [mm] f:\IR^{2}\to\IR [/mm] die 2. Ableitung im Nullpunkt ausrechnen.
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}+y{2}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
und 0 für (x,y)=(0,0).
Die zweiten partiellen Ableitungen habe ich mir von Mathematica ausrechnen lassen, aber für die null muss man das ja etwas anders machen oder?
Sicherlich mit irgendeinem Diffenrenzenquotienten. Könnte mir da vielleicht jemand mal den Anfang erklären?
VG und danke für jede Antwort. mathmetzsch
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Hi
rein formal ist die zweite Ableitung 0, denn die Ableitung von 0 ist ja 0, aber du kannst ja mal gucken, was passiert, wenn du in der zweiten Ableitung den Limes gegen 0 laufen läßt.
Du kannst ja auch mal die zweite Ableitung posten, (dann muß ich sie nicht ausrechen, ist doch aufwendig).
LG
Britta
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Also die 2. Ableitung besteht ja aus 4 partiellen Ableitungen, da die zugehörige Jacobimatrix ja 4 Einträge hat.
Außerdem dürfte das ja wenig Sinn machen, die ich die 2. Ableitung an der Stelle null ausrechnen soll, aber die erste Ableitung kann ich posteb. Da muss man dann sicher was mit dem Limes machen.
[mm] \partial_{x}=-\bruch{2x(-xy^{3}+x^{3}y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\bruch{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Danke im Voraus für deine Hilfe! mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 11.10.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> rein formal ist die zweite Ableitung 0, denn die Ableitung
> von 0 ist ja 0,....
hm, also so ganz stimmt das ja nicht....  Die ableitung von $1$ ist ja auch nicht $1$.
@mathmetzsch: durch symbolisches ableiten kannst du natürlich nur dort die partiellen ableitungen bestimmen, wo die funktion auf einer offenen menge durch eine abbildung gegeben ist, in deinem fall also auf dem [mm] $\IR^2 \backslash \{0\}$.
[/mm]
Im Nullpunkt musst du die definition der ableitung mittels des differenzenquotienten verwenden, das ist schon richtig.
also beispielsweise:
[mm] $\partial_x f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{0-0}{h}=0$
[/mm]
Viele Grüße
Matthias
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