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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 19.12.2013 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen stimmen, welche nicht? Beweisen Sie richtige Aussagen oder geben Sie ein Gegenbeispiel, wenn es sich um eine falsche Aussage handelt.
1) Seien f, g : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] differenzierbare Funktionen. Gilt f(x) [mm] \le [/mm] g(x) für alle x [mm] \in \IR, [/mm] so gilt auch f'(x) [mm] \le [/mm] g'(x) für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
2) Funktionen, die einmal differenzierter sind, sind auch zweimal differenzierter.
3) Ist f : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion und gilt f'(x) = f(x) für alle x [mm] \in \IR, [/mm] so muss f(x) = 0 sein für alle x [mm] \in \IR. [/mm]
4) Ist P(x) = [mm] a_{n}*x^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}*x [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] ein Polynom und ist n ungerade, so besitzt P mindestens eine Nullstelle. |
Hey Leute,
bräuchte hier etwas Hilfe bei den Aufgaben, also wenn Ihr Zeit habt :D
Also ich bin zum Entschluss gekommen, dass
1) Falsch sei, mir jedoch ein Gegenbeispiel fehlt
2) Richtig, denn wenn ich die einmal ableiten kann, sollte man sie auch zweimal ableiten können
3) Falsch, Beispiel: [mm] e^{x}
[/mm]
4) Wenn das schon so gefragt wird, sag ich mal ja, also Richtig
Die Frage ist, wie kann ich 2 und 4 beweisen und findet ihr vielleicht ein Gegenbeispiel für 1??? :)
Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich wirklich sehr glücklich :D
Schöne Grüße
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Hallo,
> Welche der folgenden Aussagen stimmen, welche nicht?
> Beweisen Sie richtige Aussagen oder geben Sie ein
> Gegenbeispiel, wenn es sich um eine falsche Aussage
> handelt.
>
> 1) Seien f, g : [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] differenzierbare
> Funktionen. Gilt f(x) [mm]\le[/mm] g(x) für alle x [mm]\in \IR,[/mm] so gilt
> auch f'(x) [mm]\le[/mm] g'(x) für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> 2) Funktionen,
> die einmal differenzierter sind, sind auch zweimal
> differenzierter.
> 3) Ist f : [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] eine differenzierbare
> Funktion und gilt f'(x) = f(x) für alle x [mm]\in \IR,[/mm] so muss
> f(x) = 0 sein für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> 4) Ist P(x) = [mm]a_{n}*x^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}*x^{n-1}[/mm] + ... + [mm]a_{1}*x[/mm]
> + [mm]a_{0}[/mm] ein Polynom und ist n ungerade, so besitzt P
> mindestens eine Nullstelle.
> Hey Leute,
>
> bräuchte hier etwas Hilfe bei den Aufgaben, also wenn Ihr
> Zeit habt :D
> Also ich bin zum Entschluss gekommen, dass
> 1) Falsch sei, mir jedoch ein Gegenbeispiel fehlt
Das habe ich ganz vergessen, daher der EDIT ;)
Du kannst ja mal an sowas wie Kosinus und Sinus denken. Eine der Funktionen verschiebst du einfach nach oben/unten. So kannst du dir ein Gegenbeispiel konstruieren.
> 2) Richtig, denn wenn ich die einmal ableiten kann, sollte
> man sie auch zweimal ableiten können
Das stimmt nicht.
Betrachte mal die folgende Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \\ x^2, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
> 3) Falsch, Beispiel: [mm]e^{x}[/mm]
Genau
> 4) Wenn das schon so gefragt wird, sag ich mal ja, also
> Richtig
Joa, prüfe mal die Grenzwerte gen [mm] \pm\infty. [/mm] Bedenke weiterhin, dass Polynomfunktionen stetig sind.
Ich denke jedoch, dass die Frage eher so lautet, bzw lauten sollte: Es gibt mindestens eine reelle Nullstelle.
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> Die Frage ist, wie kann ich 2 und 4 beweisen und findet ihr
> vielleicht ein Gegenbeispiel für 1??? :)
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> Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich wirklich sehr
> glücklich :D
>
>
> Schöne Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 19.12.2013 | | Autor: | hamade9 |
Ich hab alles verstanden, und dann auch lösen können... Leider verstehe ich
$ [mm] f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \\ x^2, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} [/mm] $
diesen Teil nicht. :S :/
Theoretisch kann man das ja ableiten für
$ [mm] f'(x)=\begin{cases} -2x, & \mbox{für } x<0 \\ 2x, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} [/mm] $
oder??
Schöne Grüße
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Hi,
> Ich hab alles verstanden, und dann auch lösen können...
> Leider verstehe ich
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x<0 \\ x^2, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
>
> diesen Teil nicht. :S :/
>
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> Theoretisch kann man das ja ableiten für
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -2x, & \mbox{für } x<0 \\ 2x, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
Ja, das ist korrekt. Als Ergebnis bekommt man also f'(x)=2|x|
Und das ist bekanntlich in x=0 nicht differenzierbar. Und somit ein Widerspruch zu der Behauptung.
>
> oder??
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>
> Schöne Grüße
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