Differenzierbarkeit 2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
| Aufgabe | b) Sei f : $ [mm] \IR→\IR [/mm] $ mit
$ [mm] f(x)=\begin{cases} x², & x\in\IQ \\ 0, & x\in\IR\setminus\IQ \end{cases} [/mm] $
1. In welchen Punkten ist f stetig? Beweisen Sie ihre Behauptungen (positive wie negative).
2. In welchen Punkten ist f differenzierbar? Beweisen Sie ihre Behauptungen. |
Hallo liebe Leute,
bin grad n bisschen hilflos bei Aufgaben der Differenzierbarkeit. Weiß auch nicht, aber hab da irgendwie ein Brett vorm Kopf.
Bei dieser Aufgabe bin ich bzgl. der 0 sehr verwirrt, weil nicht weiß wie das mit dem Limes(Untersuchung Stetigkeit bei einem solchen Wertebereich aussieht?!
Ich danke an dieser Stelle erstmal für eure Aufmerksamkeit und bitte um Verständnis für meine temporäre "Beschränktheit"^^
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] x_0 \in \IR [/mm] und [mm] x_0 \not=0
[/mm]
Es gibt eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] mit [mm] x_n \to x_0
[/mm]
Dann: [mm] f(x_n) [/mm] = 0 für jedes n, also: [mm] f(x_n) \to [/mm] 0 [mm] \not= x_0^2
[/mm]
f ist also in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig.
Nun untersuche mal den Fall [mm] x_0 [/mm] = 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Ersteinmal Danke für die schnell Hilfe!
ich versteh Ihren Beweis nicht ganz bzw. kanns mir nicht vorstellen. gibts da eine konkrete Folge ( auch für x [mm] \in \IQ [/mm] also wie in der Aufgabenstellung).
(hab noch leichte probleme mit formalen schreibweisen)
und bei x0=0 würde ich sagen dass [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] x²=0 und somit in x0=0 stetig?!
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> Ersteinmal Danke für die schnell Hilfe!
>
> ich versteh Ihren Beweis nicht ganz bzw. kanns mir nicht
> vorstellen. gibts da eine konkrete Folge ( auch für x [mm]\in \IQ[/mm]
> also wie in der Aufgabenstellung).
> (hab noch leichte probleme mit formalen schreibweisen)
Hallo,
skizziert hast Du Dir die Funktion schon?
Ist Dir intuitiv klar, daß die außer im Punkt x=0 nicht stetig ist?
Welche Definitionen der Stetigkeit sind Dir geläufig?
Fred verwendet diese: f ist stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, die Folge der Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen [mm] f(x_0) [/mm] konvergiert.
Findet man nun eine Folge, für die das nicht der Fall ist, so hat man die Stetigkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] widerlegt.
Wenn nun [mm] x_0 \in \IQ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] ist, versuch mal, eine Folge zu finden, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, aber aus nichtrationalen Zahlen besteht.
Tip: bastele diese Folge, indem Du was kleines nichtrationales zu [mm] x_0 [/mm] addierst.
Guck Dir dann die Folge der Funktionswerte an.
Danach nimm Dir [mm] x_0\in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] vor.
Daß es zu jeder nichtrationalen Zahl [mm] x_0 [/mm] eine rationale Folge gibt, die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergiert, hattet Ihr gewiß in der Vorlesung.
Nun betrachte die Folge ihrer Funktionswerte.
> und bei x0=0 würde ich sagen dass [mm]\limes_{x\rightarrow\x0}[/mm]
> x²=0 und somit in x0=0 stetig?!
Ja, an der Stelle ist sie stetig.
Du mußt es noch "schön" begründen.
Nimm dazu eine Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen 0 konvergiert.
Du willst ja nun wissen, of [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen f(0)=0 konvergiert.
Nun rechnest Du vor, daß sowohl die "rationale" Teilfolge (also mit [mm] x_k [/mm] rational) als auch die irrationale Teilfolge (mit den irrationalen [mm] x_k) [/mm] gegen f(0) konvergiert.
Sowas in der Richtung wolltest Du ja sicher mit Deinem [mm] x^2 [/mm] auch ausdrücken.
Du arbeitest hier aber, wenn Du magst, auch sehr bequem mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 30.06.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hi,
skizziert hast Du Dir die Funktion schon?
naja wüsste nicht direkt wie ich das machen soll, aber es dürfte ja sowas wie eine normalparabel mit lücken an den stellen der nichtrationalen Zahlen sein und an diesen stellen ist y=0
> Welche Definitionen der Stetigkeit sind Dir geläufig?
das [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] -Kriterium
> Ist Dir intuitiv klar, daß die außer im Punkt x=0 nicht
> stetig ist?
naja ich stell es mir gerade so vor:
Dadurch dass an den irrationalen Stellen f(x)=0 gilt, finde ich halt keine passende [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] umgebung an diesen stellen.
Wäre das rein vorstellungsmäßig richtig?
> Wenn nun [mm]x_0 \in \IQ[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] ist, versuch mal, eine > Folge zu finden, die gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, aber aus
> nichtrationalen Zahlen besteht.
> Tip: bastele diese Folge, indem Du was kleines
> nichtrationales zu [mm]x_0[/mm] addierst.
> Guck Dir dann die Folge der Funktionswerte an.
also xn=x0 + [mm] \wurzel{2}/n [/mm] wäre doch eine solche Folge oder?
> Danach nimm Dir [mm]x_0\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] vor.
> Daß es zu jeder nichtrationalen Zahl [mm]x_0[/mm] eine rationale
> Folge gibt, die gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, hattet Ihr gewiß in
> der Vorlesung.
> Nun betrachte die Folge ihrer Funktionswerte.
>
>
> > und bei x0=0 würde ich sagen dass [mm]\limes_{x\rightarrow\x0}[/mm]
> > x²=0 und somit in x0=0 stetig?!
>
> Ja, an der Stelle ist sie stetig.
> Du mußt es noch "schön" begründen.
>
> Nimm dazu eine Folge [mm](x_n),[/mm] die gegen 0 konvergiert.
>
> Du willst ja nun wissen, of [mm](f(x_n))[/mm] gegen f(0)=0
> konvergiert.
> Nun rechnest Du vor, daß sowohl die "rationale" Teilfolge
> (also mit [mm]x_k[/mm] rational) als auch die irrationale Teilfolge
> (mit den irrationalen [mm]x_k)[/mm] gegen f(0) konvergiert.
> Sowas in der Richtung wolltest Du ja sicher mit Deinem [mm]x^2[/mm]
> auch ausdrücken.
>
> Du arbeitest hier aber, wenn Du magst, auch sehr bequem mit
> dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium.[/mm]
mit den Folgen an dieser Stelle ist mir das nicht ganz klar
aber mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium.[/mm]
würde ich sagen
[mm] |f(x)-f(x)|=|x²-x0²|=|(x-x0)*(x+x0)|\le\delta*(x+x0)\le\varepsilon
[/mm]
an der stelle schon wieder probleme -.-
Gruß
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> Hi,
>
> skizziert hast Du Dir die Funktion schon?
>
> naja wüsste nicht direkt wie ich das machen soll, aber es
> dürfte ja sowas wie eine normalparabel mit lücken an den
> stellen der nichtrationalen Zahlen sein und an diesen
> stellen ist y=0
Hallo,
ja, als Skizze wäre eine Normalparabel und die y-Achse gut, man muß hat wissen, welche Funktionswerte wozu gehören.
>
> > Welche Definitionen der Stetigkeit sind Dir geläufig?
>
> das [mm]\delta[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] -Kriterium
Achso.
>
> > Ist Dir intuitiv klar, daß die außer im Punkt x=0 nicht
> > stetig ist?
>
> naja ich stell es mir gerade so vor:
>
> Dadurch dass an den irrationalen Stellen f(x)=0 gilt, finde
> ich halt keine passende [mm]\delta[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] umgebung an
> diesen stellen.
> Wäre das rein vorstellungsmäßig richtig?
Ja - vorausgesetzt, Du hast das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] richtig verstanden.
>
> > Wenn nun [mm]x_0 \in \IQ[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] ist, versuch mal, eine > Folge
> zu finden, die gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert, aber aus
> > nichtrationalen Zahlen besteht.
> > Tip: bastele diese Folge, indem Du was kleines
> > nichtrationales zu [mm]x_0[/mm] addierst.
> > Guck Dir dann die Folge der Funktionswerte an.
>
> also xn=x0 + [mm]\wurzel{2}/n[/mm] wäre doch eine solche Folge
> oder?
Haargenau diese hatte ich im Auge.
Du kannst die Unstetigkeit im Punkt [mm] x_0\ \in \IQ [/mm] (ohne 0) auch mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen.
Zeige, daß Du für [mm] \varepsilon:=\bruch{f(x_0)}{2} [/mm] kein [mm] \delta [/mm] findest, so daß für alle x, die nicht weiter als [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] entfernt sind, die Funktionswerte f(x) in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] liegen.
Hierzu ist obige Folge nützlich, oder der Hinweis, daß es in jeder Umgebeung einer rationalen Zahl reine reelle gibt. Ich denke, daß das auch in der VL besprochen wurde.
> >
> > Du arbeitest hier aber, wenn Du magst, auch sehr bequem mit
> > dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium.[/mm]
>
> mit den Folgen an dieser Stelle ist mir das nicht ganz klar
>
> aber mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium.[/mm]
> würde ich sagen
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x²-x0²|=|(x-x0)*(x+x0)|\le\delta*(x+x0)\le\varepsilon[/mm]
Da würde ich mich jetzt aufstellen und ganz dumm fragen: was ist denn eigentlich [mm] \varepsilon? [/mm] Und was ist [mm] \delta?
[/mm]
Mach Dir erstmal klar, was zu zeigen ist: zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] findest Du ein passendes, i.d.R. von [mm] \varepsilon [/mm] abhängiges [mm] \delta, [/mm] so daß für alle x, die nicht weiter von [mm] x_0 [/mm] entfernt sind, die Funktionswerte nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] entfernt sind.
Wir sind ja jetzt bei [mm] x_0=0.
[/mm]
Sei also [mm] \varepsilon>0. [/mm] Nun überleg Dir mal, wie weit die x von 0 entfernt sein dürfen, damit ihre Funktionswerte nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von f(0)=0 entfernt sind.
Die wird das [mm] \delta, [/mm] welches Du dann wählst. (Es gibt mehrere Möglichkeiten).
Wenn Du ein [mm] \delta [/mm] gefunden hast ("Sei [mm] \delta:= [/mm] ..."), rechnest Du vor, wie herrlich alles klappt.
Gruß v. Angela
> an der stelle schon wieder probleme -.-
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> Gruß
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>
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> [mm]|f(x)-f(x)|=|x²-x0²|=|(x-x0)*(x+x0)|\le\delta*(x+x0)\le\varepsilon[/mm]
> an der stelle schon wieder probleme -.-
Hallo,
mir fällt gerade auf, was Du hier tun willst.
Zum Finden eines passenden [mm] \delta [/mm] kannst Du so anfangen - am bestn auf einem Schmierzettel.
Es soll x also so sein, daß [mm] |x-x_0|\le \delta.
[/mm]
Dann erhältst Du [mm] ]|f(x)-f(x_0)|=|x²-x0²|=|(x-x0)*(x+x0)|\le\delta*(x+x0)
[/mm]
Nun betrachten wi ja gerade die Stelle [mm] x_0=0, [/mm] so daß man [mm] ...\le\delta*x [/mm] dastehen hat.
Wenn x in einer [mm] \delta-Umgebung [/mm] von 0 liegt, ist [mm] x\le \delta, [/mm] so daß man bekommt [mm] ...\le\delta*x \le \delta^2.
[/mm]
Dies soll nun [mm] \varepsilon [/mm] sein, und aus [mm] \delta^2<\varepsilon [/mm] erhält man [mm] \delta<\wurzel{\varepsilon}.
[/mm]
Man kann also etwa [mm] \delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2} [/mm] nehmen.
Und nun legt man den Schmierzettel bei Seite
und schreibt alles auf:
sei [mm] \varepsilon<0 [/mm] und [mm] \delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2} [/mm] .
Es ist [mm] |f(x)-f(x_0)|= [/mm] ...,
und Du rechnest nun vor, daß alles schön klappt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 01.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
> und schreibt alles auf:
>
> sei [mm]\varepsilon<0[/mm] und
> [mm]\delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2}[/mm] .
>
> Es ist [mm]|f(x)-f(x_0)|=[/mm] ...,
>
> und Du rechnest nun vor, daß alles schön klappt.
>
> Gruß v. Angela
ok, also bei x0=0 wäre dann also die Stetigkeit so zu zeigen:
sei [mm]\varepsilon<0[/mm] und
[mm]\delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2}[/mm] .
Es ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm]
mit x0=0
|f(x)-0|=|x²|=x² [mm] \le \delta²\le\bruch{\varepsilon}{4}\le\varepsilon
[/mm]
wäre ich dann fertig?
bei der stetigkeit ist ja einfach
sei x [mm] \in \IQ [/mm] (hier bin ich mir nicht sicher ob ich die x [mm] \in \IR \setminus \IQ [/mm] weglassen kann?!)
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{x0²+2x0h+h²-x0²}{h}=\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{2x0h+h²}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty}2x0 [/mm] + h=2x0
und mit x0=0 ist f'(0) = 0
hätte man sich da den vorigen teil sparen können da ja die funktion an der stelle wo sie differenzierbar ist auch stetig sein muss?!
wäre dann der 2. teil mit der differenzierbarkeit gelöst?
so und bei dem beweis der nichtstetigkeit bei [mm] x\not=0 [/mm] bin ich mir noch nicht sicher
also ich hab ja 2 Teile
einmal für x [mm] \in \IQ [/mm] also die rationalen x :
sei x=p/q :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}xn=x [/mm] + [mm] \wurzel{2}/n [/mm] = x [mm] \not= [/mm] 0 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(xn)
und somit nicht stetig für x [mm] \in \IQ
[/mm]
und dann noch für die x [mm] \in \IR \setminus \IQ [/mm] :
(hier gilt ja nicht mehr unbedingt [mm] x\le \delta [/mm] oder? weil es ja nicht mehr die umgebung von x=0 ist?!)
sei x0 in [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] und [mm] \varepsilon [/mm] := x
|f(x)-f(x0)| = |(fx)-0)|=|f(x)|=x² [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
ginge das?
Gruß Markus
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> Hallo,
>
> > und schreibt alles auf:
> >
> > sei [mm]\varepsilon<0[/mm] und
> > [mm]\delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2}[/mm] .
> >
> > Es ist [mm]|f(x)-f(x_0)|=[/mm] ...,
> >
> > und Du rechnest nun vor, daß alles schön klappt.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> ok, also bei x0=0 wäre dann also die Stetigkeit so zu
> zeigen:
>
> sei [mm]\varepsilon<0[/mm] und
> [mm]\delta:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{2}[/mm] .
>
> Es ist [mm]|f(x)-f(x_0)|[/mm]
> mit x0=0
> |f(x)-0|=|x²|=x² [mm]\le \delta²\le\bruch{\varepsilon}{4}\le\varepsilon[/mm]
>
> wäre ich dann fertig?
Hallo,
ja.
>
> bei der stetigkeit ist ja einfach
Du meinst die Differenzierbarkeit.
>
> sei x [mm]\in \IQ[/mm] (hier bin ich mir nicht sicher ob ich die x
> [mm]\in \IR \setminus \IQ[/mm] weglassen kann?!)
Nein.
Du mußt sowohl die Diffbarkeit an den rationalen als auch an den irrationalen Stelle untersuchen, ober Du kannst das ja ggf. getrennt tun.
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}[/mm] =
Du meinst sicher [mm] h\to [/mm] 0.
> =[mm]\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{\red{x0²+2x0h+h²}-x0²}{h}
Das stimmt ja nicht: Es ist f(x_0+h) nicht in jedem Fall =(x_0+h)^2, sondern nur an den rationalen Stellen - und das ist ein echter Stolperstein,
Nachdenkenswert ist nun, ob's im Punkt x=0 dennoch klappt - es klappt.
Du könntest hier das Sandwichtheorem nehmen, um den Grenzwert auszurechnen.
> =\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{2x0h+h²}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}2x0[/mm] + h=2x0
> und mit x0=0 ist f'(0) = 0
> hätte man sich da den vorigen teil sparen können da ja
> die funktion an der stelle wo sie differenzierbar ist auch
> stetig sein muss?!
Im Prinzip ja.
> wäre dann der 2. teil mit der differenzierbarkeit
> gelöst?
>
> so und bei dem beweis der nichtstetigkeit bei [mm]x\not=0[/mm] bin
> ich mir noch nicht sicher
> also ich hab ja 2 Teile
> einmal für x [mm]\in \IQ[/mm] also die rationalen x :
>
> sei x=p/q :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}xn=x[/mm] + [mm]\wurzel{2}/n[/mm] = x [mm]\not=[/mm] 0
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(xn)
>
> und somit nicht stetig für x [mm]\in \IQ[/mm]
Wenn Du mit dem Folgenkriterium für Stetigkeit arbeitest, muß Du zeigen oder halt widerlegen, daß für alle [mm] x_n\to [/mm] x gilt [mm] f(x_n)\to [/mm] f(x),
Das tust Du nicht.
Du hast eine Folge [mm] x_n=x +\wurzel{2}/n, [/mm] die gegen x konvergiert.
Nun mußt Du [mm] \lim_{n\to \infty}f(x_n) [/mm] ausrechnen. man erhält ja in der Tat 0 hierfür, aber daß das [mm] \not=x [/mm] ist, ist sehr uninteressant. Auf welche Ungleichheit kommt es an?
Und in welchem Fall hat man keine Ungleichheit?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 01.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
ersteinmal möchte ich mich für diese überaus ausdauernde und nette Hilfe bedanken Angela, Fred!
> > wäre ich dann fertig?
>
> Hallo,
>
> ja.
juhu! der erste Hoffnungsschimmer! :)
> > bei der stetigkeit ist ja einfach
>
> Du meinst die Differenzierbarkeit.
ja, ich bin schon komplett verwirrt, tut mir leid
> Du mußt sowohl die Diffbarkeit an den rationalen als auch
> an den irrationalen Stelle untersuchen, ober Du kannst das
> ja ggf. getrennt tun.
ok
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}[/mm] =
>
> Du meinst sicher [mm]h\to[/mm] 0.
ja
> =[mm][mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{\red{x0²+2x0h+h²}-x0²}{h}
[/mm]
> Das stimmt ja nicht: Es ist [mm] f(x_0+h) [/mm] nicht in jedem Fall [mm] =(x_0+h)^2, [/mm]
> sondern nur an den rationalen Stellen - und das ist ein echter
> Stolperstein, Nachdenkenswert ist nun, ob's im Punkt x=0 dennoch
> klappt - es klappt. Du könntest hier das Sandwichtheorem nehmen, um > den Grenzwert >auszurechnen.
Ich glaube das hatten wir noch nicht... kann man das dann trotzdem verwenden?
Also müsste ich das ganze dann über die Fallunterscheidung machen :
für rationale Stellen (müsste das gehen was ich hatte?!)
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{(x0+h)²-f(x0)²}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{x0²+2x0h+h²-x0²}{h}=\limes_{h\rightarrow\0}2xo [/mm] + h =2x0... =0 mit x0=0
für irrationale Stellen
[mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{0-0}{h}=0 [/mm] ?!
und da die Grenzwert übereinstimmen ist sie an x0=0 differenzierbar?!
> Du hast eine Folge [mm]x_n=x +\wurzel{2}/n,[/mm] die gegen x
> konvergiert.
>
> Nun mußt Du [mm]\lim_{n\to \infty}f(x_n)[/mm] ausrechnen. man
> erhält ja in der Tat 0 hierfür, aber daß das [mm]\not=x[/mm] ist,
> ist sehr uninteressant. Auf welche Ungleichheit kommt es
> an?
> Und in welchem Fall hat man keine Ungleichheit?
es kommt auf die ungleichheit von [mm] f(x_n)\to [/mm] f(x) an?
für rationale wäre es ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] = 0 [mm] \not= [/mm] x² =f(x)
und somit unstetig
für irrationale wäre es
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] = 0 = 0 =f(x)
also wäre es in irrationalen x stetig?! aber das kann ja rein intuitiv nicht sein...
und keine ungleichheit hat man natürlich auch bei x0=0
wäre das die lösung ?
gruß Markus
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> > > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h}[/mm] =
> >
> > Du meinst sicher [mm]h\to[/mm] 0.
>
> ja
>
> > =[mm][mm] \limes_{h\rightarrow\infty}\bruch{\red{x0²+2x0h+h²}-x0²}{h}[/mm]
> Das stimmt ja nicht: Es ist [mm]f(x_0+h)[/mm] nicht in jedem Fall [mm]=(x_0+h)^2,[/mm]
> sondern nur an den rationalen Stellen - und das ist ein echter
> Stolperstein, Nachdenkenswert ist nun, ob's im Punkt x=0 dennoch
> klappt - es klappt. Du könntest hier das Sandwichtheorem nehmen, um > den Grenzwert >auszurechnen.
> Ich glaube das hatten wir noch nicht... kann man das dann trotzdem verwenden?
Hallo,
ich bin mir sehr sicher, daß Ihr folgendes hattet:
[mm] a_n
Und wenn nun lim [mm] a_n [/mm] =lim [mm] c_n, [/mm] dann hat der lim [mm] b_n [/mm] ja keine andere Möglichkeit, als auch diesen Wert anzunehmen.
> Also müsste ich das ganze dann über die Fallunterscheidung machen :
Laß uns kurz in Erinnerung rufen, wo wir gerade sind: es geht um die Differenzierbarkeit, und zwar zunächst um die an rationalen Stellen.
Sei also [mm] x_0 \in \IQ.
[/mm]
Zu untersuchen ist, ob [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] existiert.
Wir hatten festgestellt (hatten wir doch, oder?): wenn sich h "rational der 0 nähert", geht [mm] \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] gegen [mm] 2x_0,
[/mm]
nähert sich h "irrational der 0 ", so geht's gegen 0.
Also existiert der GW an den Stellen, an denen [mm] 2x_0 [/mm] und 0 nicht übereinstimmen, nicht ==> nicht diffbar für [mm] x_0\in \IQ.
[/mm]
Einzig an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] gestaltet sich die Situation anders: 0=[mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{0-f(0)}{h}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(+h)-f(0)}{h}[/mm] [mm] \le[/mm] [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{h^2-f(0)}{h}[/mm] =0.
Nun müßte man noch die irrationalen Stellen untersuchen, das geht genauso.
Aber STOP - lieber mal nachdenken: nachdem bereits alle Stellen mit Ausnahme der 0 als unstetig entlarvt wurden, kann man sich mit Ausnahme der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] doch die ganze Diffbarkeitsuntersuchung sparen!
Hier geht's wieder um Stetigkeit:
> Du hast eine Folge [mm]x_n=x +\wurzel{2}/n,[/mm] die gegen x
> konvergiert.
>
> Nun mußt Du [mm]\lim_{n\to \infty}f(x_n)[/mm] ausrechnen. man
> erhält ja in der Tat 0 hierfür, aber daß das [mm]\not=x[/mm] ist,
> ist sehr uninteressant. Auf welche Ungleichheit kommt es
> an?
> Und in welchem Fall hat man keine Ungleichheit?
> es kommt auf die ungleichheit von [mm]f(x_n)\to[/mm] f(x) an?
Ja. Es kommt darauf an, daß lim [mm] f(x_n)=f(x) [/mm] für alle Folgen [mm] x_n\to [/mm] x,
oder anders notiert: es muß sein lim f(x)= f(x), also "Grenzwert=Funktionswert".
> für rationale wäre es ja
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] = 0 [mm]\not=[/mm] x² =f(x)
> somit unstetig
Genau, solange man nicht die Stelle [mm] x_0=0 [/mm] betrachtet.
> für irrationale wäre es
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] = 0 = 0 =f(x)
> also wäre es in irrationalen x stetig?! aber das kann ja rein intuitiv nicht sein...
Nein, und auch rechnerisch ist das nicht so...
Ihr hattet bestimmt, daß es für jede irrationale Zahl x eine rationale Folge [mm] (x_n) [/mm] gibt, die dagegen konvergiert.
(Welche das ist, spielt hier gar keine Rolle, für unsere Zwecke müssen wir die nicht genau kennen).
Damit haben wir eine Folge, für welche [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] x^2 [/mm] konvergiert, was aber nicht der Grenzwert der Funktion ist, denn für irrationales x ist f(x)=0.
Nochmal eine kleine Zusammenstellung zur Stetigkeit von f im Punkt [mm] x_0:
[/mm]
1. Die [mm] \varepsilon-\delta-Def. [/mm] der Stetigkeit kennst Du, oder solltest sie kennen.
2. Äquivalent dazu ist: [mm] \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) [/mm] ("Grenzwert= Funktionswert")
3. An dieser Stelle sollte man wissen, was mit Grenzwerten von Funktionen gemeint ist:
[mm] \lim_{x\to x_0}f(x)=a [/mm] genau dann, wenn
für alle Folgen [mm] (x_n), [/mm] die gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] gegen a konvergiert.
(Im Falle der Stetigkeit ist [mm] a=f(x_0) [/mm] )
Gruß v. Angela
P.S.: Ich habe in meiner vorhergeheden Antwort am Ende etwas entfernt, was totaler Schwachsinn war. (Betrunken war ich nicht. Es muß die Hitze gewesen sein...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo,
also ich versuchs mal mit den neuen Hinweisen, soweit ich sie richtig verstanden habe zusammenzufassen.
1.
Stetigkeit für x [mm] \in \IQ
[/mm]
_________________
Ist x [mm] \in \IQ, [/mm] so ist [mm] x_n=x+\bruch{\wurzel{2}}{n} [/mm] eine Folge irrationaler Zahlen mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x+\bruch{\wurzel{2}}{n}=x
[/mm]
Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = 0 [mm] \not= x^2 [/mm] = f(x)
Damit ist f(x) für alle x [mm] \in \IQ [/mm] nicht stetig, mit der offensichtlichen Außnahme [mm] x_0=0.
[/mm]
Stetigkeit für x [mm] \in \IR \setminus \IQ
[/mm]
_________________
Ist x [mm] \in \IR \setminus \IQ, [/mm] so findet man eine Folge rationaler Zahlen [mm] x_n, [/mm] für die gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n= [/mm] x .
Dann gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= (x_n)^2 \not= [/mm] 0 =f(x)
Damit ist f(x) nicht stetig für x [mm] \in \IR \setminus \IQ.
[/mm]
2. Differenzierbarkeit
Aufgrund der Erkenntnisse bei der Stetigkeit kann f(x) nur in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar sein.
Um dies zu überprüfen betrachten wir [mm] \limes_{h\to\0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\to\0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\to\0}\bruch{f(h)}{h} [/mm] für
1. rationale Zahlen
[mm] \limes_{h\to\0}\bruch{f(h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\to\0}\bruch{h^2}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\to\0}h [/mm] = 0
2. irrationale Zahlen
[mm] \limes_{h\to\0}\bruch{f(h)}{h} \limes_{h\to\0}\bruch{0}{h}= [/mm] 0
Da der Grenzwert übereinstimmt ist die Funktion an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar.
Wäre das jetzt so als komplettes richtig? ... bin schon ganz aufgeregt
Gruß Markus
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> Wäre das jetzt so als komplettes richtig? ... bin schon
> ganz aufgeregt
Hallo,
es kommt sehr nah dran...
> also ich versuchs mal mit den neuen Hinweisen, soweit ich
> sie richtig verstanden habe zusammenzufassen.
Gute Idee!
>
> 1.
> Stetigkeit für x [mm]\in \IQ[/mm]
> _________________
>
> Ist x [mm]\in \IQ,[/mm] so ist [mm]x_n=x+\bruch{\wurzel{2}}{n}[/mm] eine
> Folge irrationaler Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x+\bruch{\wurzel{2}}{n}=x[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = 0 [mm]\not= x^2[/mm]
> = f(x)
>
> Damit ist f(x) für alle x [mm]\in \IQ[/mm] nicht stetig, mit der
> offensichtlichen Außnahme [mm]x_0=0.[/mm]
Du solltest hier zunächst [mm] \IQ [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] untersuchen so, wie Du es getan hast, also die Stetigkeit widerlegen.
Um die Stetigkeit in 0 zu beweisen, reicht es nicht, wenn die eine, konkrete Folge gegen f(0) konvergiert.
Nimm doch hier wieder das Sandwichtheorem:
Die Folge [mm] x_n [/mm] konvergiere gegen 0.
Nach Def. der Funktion ist [mm] 0\le f(x_n)\le x_n^2, [/mm] und nun mit dem Grenzwert drauf.
Du erhältst [mm] \lim_{n\to \infty}f(x_n)=0=f(0), [/mm] und weil das für alle Folgen gilt, die gegen 0 konvergieren hast Du hiermit gezeigt [mm] \lim_{x\to 0}f(x)=f(0), [/mm] also stetig.
>
>
> Stetigkeit für x [mm]\in \IR \setminus \IQ[/mm]
> _________________
>
> Ist x [mm]\in \IR \setminus \IQ,[/mm] so findet man [mm] (\red{lt. Vorlesung, Satz \qudxyz})
[/mm]
schau Dich hierfür bei der Konstruktion der reellen Zahlen um, das habt Ihr doch gemacht, oder?
> eine Folge
> rationaler Zahlen [mm]x_n,[/mm] für die gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=[/mm] x .
> Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= (x_n)^2 \not=[/mm]
> 0 =f(x)
>
> Damit ist f(x) nicht stetig für x [mm]\in \IR \setminus \IQ.[/mm]
>
>
> 2. Differenzierbarkeit
>
> Aufgrund der Erkenntnisse bei der Stetigkeit kann f(x) nur
> in [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar sein.
> Um dies zu überprüfen betrachten wir
> [mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h}[/mm]
> für
>
> 1. rationale Zahlen
>
> [mm]\limes_{h\to\0}\bruch{f(h)}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\to\0}\bruch{h^2}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\to\0}h[/mm] = 0
>
> 2. irrationale Zahlen
>
> [mm]\limes_{h\to\0}\bruch{f(h)}{h} \limes_{h\to\0}\bruch{0}{h}=[/mm]
> 0
Ich würde das etwas anders schreiben - wieder sandwichmäßig:
nach Def. der Funktion f ist
[mm] 0\le [/mm] f(h) [mm] \le h^2,
[/mm]
also 0 [mm] \le \bruch{f(h)}{h} \le [/mm] h,
und nun den Grenzwert drauf, und daraus den gesuchten GW gewinnen.
Dann kannst Du noch abschließend erwähnen, daß "also" der Grenzwert des Differenzenquotienten in [mm] x_0=0 [/mm] existiert (auf seine Existenz kommt es an, daß er nun mehr oder weniger zufällig =0 ist, ist hier uninteressant), und die Funktion somit an dieser Stelle diffbar ist.
Ein kleines Fazit am Ende ist immer schön - und nicht zuletzt auch eine Hilfe für einen selbst. Jedenfalls dann, wenn man den Effekt kennt, daß man fleißig rumgerechnet hat, und sich am Ende fragt: und was hab' ich jetzt? Oder: warum ist das damit gezeigt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Hallo
Ok also neuer Versuch :) :
1.
Stetigkeit für x [mm]\in \IQ[/mm] [mm] \setminus [/mm] {0}
_________________
Ist x [mm]\in \IQ,[/mm][mm] \setminus [/mm] {0} so ist [mm]x_n=x+\bruch{\wurzel{2}}{n}[/mm] eine
Folge irrationaler Zahlen mit
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x+\bruch{\wurzel{2}}{n}=x[/mm]
Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = 0 [mm]\not= x^2[/mm] = f(x)
Damit ist f(x) für alle x [mm]\in \IQ[/mm] [mm] \setminus [/mm] {0} nicht stetig.
Stetigkeit für [mm] x_0=0
[/mm]
_________________
Sei [mm] x_0=0
[/mm]
Die Folge [mm]x_n[/mm] konvergiere gegen 0. Nach Definition der Funktion ist [mm]0\le f(x_n)\le x_n^2,[/mm] , also auch [mm] \limes_{x\rightarrow\{0}}0 \le \limes_{x\rightarrow\x_0}f(x_n) \le \limes_{x\rightarrow\{0}} x_n^2
[/mm]
da [mm] \limes_{x\rightarrow\{0}}0 [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\{0}}x_n^2 [/mm] = 0
somit ist auch [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0}f(x_n) [/mm] = 0 = f(0) und damit ist f(x) in [mm] x_0 [/mm] stetig.
Stetigkeit für x [mm]\in \IR \setminus \IQ[/mm]
_________________
>Ist x [mm]\in \IR \setminus \IQ,[/mm] so findet man [mm](\red{lt. >Vorlesung, Satz \qudxyz})[/mm]
>
> schau Dich hierfür bei der Konstruktion der reellen Zahlen
> um, das habt Ihr doch gemacht, oder?
hab den satz nach langer suche gefunden, er war ein bisschen anders formuliert ^^
eine Folge
rationaler Zahlen [mm]x_n,[/mm] für die gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=[/mm] x .
Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= (x_n)^2 \not=[/mm] 0 =f(x)
Damit ist f(x) nicht stetig für x [mm]\in \IR \setminus \IQ.[/mm]
Bei dem [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) [/mm] bin ich mir nicht sicher. Ist der [mm] x^2 [/mm] oder was anderes?
2. Differenzierbarkeit
_________________
Aufgrund der Erkenntnisse bei der Stetigkeit kann f(x) nur
in [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar sein.
Um dies zu überprüfen betrachten wir
[mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h}[/mm]
nach Def. der Funktion f ist
[mm]0\le[/mm] f(h) [mm]\le h^2,[/mm]
also 0 [mm]\le \bruch{f(h)}{h} \le[/mm] h und damit [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}}0 \le \limes_{h\rightarrow\{0}}\bruch{f(h)}{h} \le \limes_{h\rightarrow\{0}}h
[/mm]
da [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}}0 [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}}h [/mm] = 0
ist demnach auch [mm] \limes_{h\rightarrow\{0}}\bruch{f(h)}{h} [/mm] = 0
Damit existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nur an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] somit ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. In dem restlichen Definitionsbereich ist sie nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.
hoffe diesmal stimmt es ?! :)
Gruß Markus
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> Hallo
>
> Ok also neuer Versuch :) :
Hallo,
ach, so dramatisch war das doch vorher nicht, daß Du nun alles neu aufschreiben mußt.
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> 1.
> Stetigkeit für x [mm]\in \IQ[/mm] [mm]\setminus[/mm] {0}
> _________________
>
> Ist x [mm]\in \IQ,[/mm][mm] \setminus[/mm] {0} so ist
> [mm]x_n=x+\bruch{\wurzel{2}}{n}[/mm] eine
> Folge irrationaler Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x+\bruch{\wurzel{2}}{n}=x[/mm]
>
>
> Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = 0 [mm]\not= x^2[/mm]
> = f(x)
>
> Damit ist f(x) für alle x [mm]\in \IQ[/mm] [mm]\setminus[/mm] {0} nicht
> stetig.
>
>
> Stetigkeit für [mm]x_0=0[/mm]
> _________________
>
> Sei [mm]x_0=0[/mm]
> Die Folge [mm]x_n[/mm] konvergiere gegen 0. Nach Definition der
> Funktion ist [mm]0\le f(x_n)\le x_n^2,[/mm] , also auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\{0}}0 \le \limes_{x\rightarrow\x_0}f(x_n) \le \limes_{x\rightarrow\{0}} x_n^2[/mm]
>
> da [mm]\limes_{x\rightarrow\{0}}0[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\{0}}x_n^2[/mm] = 0
>
> somit ist auch [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}f(x_n)[/mm] = 0 = f(0)
> und damit ist f(x) in [mm]x_0[/mm] stetig.
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>
> Stetigkeit für x [mm]\in \IR \setminus \IQ[/mm]
> _________________
>
> >Ist x [mm]\in \IR \setminus \IQ,[/mm] so findet man [mm](\red{lt. >Vorlesung, Satz \qudxyz})[/mm]
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> >
> > schau Dich hierfür bei der Konstruktion der reellen Zahlen
> > um, das habt Ihr doch gemacht, oder?
>
> hab den satz nach langer suche gefunden, er war ein
> bisschen anders formuliert ^^
>
> eine Folge
> rationaler Zahlen [mm]x_n,[/mm] für die gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=[/mm] x .
> Dann gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=\red{\limes_{n\rightarrow\infty}} (x_n)^2=x^2 \not=[/mm]
> 0 =f(x)
>
> Damit ist f(x) nicht stetig für x [mm]\in \IR \setminus \IQ.[/mm]
>
>
> Bei dem [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)[/mm] bin ich mir nicht
> sicher. Ist der [mm]x^2[/mm] oder was anderes?
Der ist [mm] x^2.
[/mm]
>
>
> 2. Differenzierbarkeit
> _________________
>
> Aufgrund der Erkenntnisse bei der Stetigkeit kann f(x) nur
> in [mm]x_0=0[/mm] differenzierbar sein.
> Um dies zu überprüfen betrachten wir
> [mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] = [mm]\limes_{h\to 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\to 0}\bruch{f(h)}{h}[/mm]
>
> nach Def. der Funktion f ist
>
> [mm]0\le[/mm] f(h) [mm]\le h^2,[/mm]
>
> also 0 [mm]\le \bruch{f(h)}{h} \le[/mm] h und damit
> [mm]\limes_{h\rightarrow\{0}}0 \le \limes_{h\rightarrow\{0}}\bruch{f(h)}{h} \le \limes_{h\rightarrow\{0}}h[/mm]
>
> da [mm]\limes_{h\rightarrow\{0}}0[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow\{0}}h[/mm]
> = 0
> ist demnach auch [mm]\limes_{h\rightarrow\{0}}\bruch{f(h)}{h}[/mm]
> = 0
>
> Damit existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nur
> an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] somit ist die Funktion an dieser Stelle
> differenzierbar. In dem restlichen Definitionsbereich ist
> sie nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.
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> hoffe diesmal stimmt es ?! :)
ja, jetzt sieht es gut aus.
Gruß v. Angela
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> Gruß Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 02.07.2009 | | Autor: | MaGGuZ |
Dann möchte ich mich nochmal an dieser Stelle ganz herzlich für die Hilfe bedanken, gerade nochmals in dem Bewusstsein, dass es eine sehr schwere Geburt war :)
Gruß Markus
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