Differenzierbarkeit => Stetig < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 12.02.2006 | | Autor: | didda |
| Aufgabe | | Beweise dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt. |
Hallo!
Habe ne Frage zu unserer Mathehausaufgabe, und zwar haben wir aufbekommen den Beweis dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt zu verstehen. Unsere Lehrerin gab uns dafür folgende internetseite:
![[]](/images/popup.gif) http://math.uni-graz.at/cs/hm1/hm1se24.html.
Und schon in der ersten Zeile des Beweises habe ich ein kleiens Verständnisproblem, der rest ist mir jedoch klar. Wie komme ich zu der Aussage dass der grenzwert von f(x) - f(c) gleich dem grenzwert von (x - c) * f(x) - f(c) / x - c. Das müssten doch dann eigentlich ein Greztwertssatz sein, oder hab ich grad ne ziemliche Denkblockade?
Wäre echt cool wenn mir da jemand helfen könnte!
MfG,
didda
Edit:
Und noch ne kleine Frage, warum folgt aus der Letzten Zeile des Beweises, also c-c * f'(c) = 0 dass f(x) = f(c) ist ?
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Hallo,
die erste Zeile ist einfach Erweitern des Bruches mit x-c. Ich schreibe es mal anders auf:
[mm] \bruch{x}{1}=\bruch{x*y}{y}
[/mm]
Wenn du jetzt das y wieder kürzst, dann hast du wieder den Ausgangsbruch. Jetzt verstanden? Das kann man natürlich auch innerhalb ein "lim-Ausdrucks" machen, denn es verändert sich nichts dadurch. Das sind so kleine mathematische Tricks, die oft beim Beweisen helfen. Es gibt da z.B. auch Nulladditionen [mm] (x^{2}=x^{2}+a-a) [/mm] oder so. Ansonsten ist der Beweis eigentlich sehr schön und auch leicht nachvollziehbar!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 12.02.2006 | | Autor: | didda |
ohje, stimmt ^^
manchmal sieht man die einfachsten sachen nicht weil man viel zu kompliziert denkt.
Kannst du mir evtl auch noch sagen warum aus
(c-c) * f'(c) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\c} [/mm] f(x) = f(c) folgt? Und warum dass dann Stetigkeit ist? wir haben nämlich gelernt dass eine Funktion stetig ist wenn lim f(x) = f(x) an der stelle x ist.
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Hallo didda,
auch das ist einfach erklärt:
Was du berechnest, ist [mm] \limes_{x\rightarrow c} [/mm] f(x)-f(c)
Da diese Differenz Null ergibt, kann das nur heißen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow c} [/mm] f(x)=f(c)
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