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Differenzierbarkeit Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Di 27.01.2009
Autor: mathenully

Aufgabe
Sei f : R → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit f(0) = 0 und f′(0) = 0.
Zeigen Sie, dass es ein C ∈ R gibt mit
|f(x)| ≤ [mm] Cx^{2} [/mm] für jedes x ∈ [−1, 1] .

Hallo,

habe mich an dieser aufgabe ausgetobt und würde gerne noch ein feedback haben ob die aufgabe so richtig ist oder ob evtl. verbesserungen angebracht sind.
über ein feedback wäre ich sehr dankbar

meine lösung:

durch zweimalige anwendung des mittelwertsatzes:

f(x) - f(0) = f'(u) (x-0)                    (-|x| < u < |x|)

f'(u) - f'(0) = f''(v) (u-0)(x-0)          (-|u| < v < |u|)

wegen f(0) =0 und f'(0) =0

|f(x)| = |f''(v) u x|

sei x [mm] \in [/mm] (-1,1)

|f(x)| = |f''(v) u x| [mm] \le [/mm] |f''(v) |u| |x|
                              [mm] \le C|x|^{2} [/mm] = [mm] Cx^{2} [/mm]
mit C = max f'' (t)   t [mm] \in [/mm] (1,-1)

        
Bezug
Differenzierbarkeit Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Di 27.01.2009
Autor: fred97


> Sei f : R → R eine zweimal stetig differenzierbare
> Funktion mit f(0) = 0 und f′(0) = 0.
>  Zeigen Sie, dass es ein C ∈ R gibt mit
>  |f(x)| ≤ [mm]Cx^{2}[/mm] für jedes x ∈ [−1, 1] .
>  Hallo,
>  
> habe mich an dieser aufgabe ausgetobt und würde gerne noch
> ein feedback haben ob die aufgabe so richtig ist oder ob
> evtl. verbesserungen angebracht sind.
> über ein feedback wäre ich sehr dankbar
>  
> meine lösung:
>  
> durch zweimalige anwendung des mittelwertsatzes:
>  
> f(x) - f(0) = f'(u) (x-0)                    (-|x| < u <
> |x|)
>  
> f'(u) - f'(0) = f''(v) (u-0)(x-0)          (-|u| < v <
> |u|)


???????????????




>  
> wegen f(0) =0 und f'(0) =0
>  
> |f(x)| = |f''(v) u x|
>  
> sei x [mm]\in[/mm] (-1,1)
>  
> |f(x)| = |f''(v) u x| [mm]\le[/mm] |f''(v) |u| |x|
>                                [mm]\le C|x|^{2}[/mm] = [mm]Cx^{2}[/mm]
>  mit C = max f'' (t)   t [mm]\in[/mm] (1,-1)


C = max |f'' (t)|  !!  Die letzten 3 Zeilen sind etwas undurchsichtig !




Ich würde den Satz von Taylor benutzen

Zunächst gibt es ein c [mm] \ge [/mm] 0: |f''(x)| [mm] \le [/mm] c für x [mm] \in [/mm] [-1,1]


Sei x [mm] \in [/mm] [-1,1]

Nach Taylor: f(x) = f(0) +f'(0)x [mm] +\bruch{f''(u)}{2}x^2 [/mm] , wobei u zwischen 0 und x

Also |f(x)| = [mm] |\bruch{f''(u)}{2}|x^2 \le \bruch{c}{2}x^2 [/mm]

Setze  C = [mm] \bruch{c}{2} [/mm]


FRED

Bezug
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