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"Die Funktion f ist auf IR^ n \ {0} sicherlich di fferenzierbar, ich kann dort also die Ableitungsfunktion f´ bilden. Wenn ich nun zeigen kann, dass f im Nullpunkt stetig ist und der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x) für x [mm] \not= [/mm] 0
existiert, dann ist f auch im Nullpunkt differenzierbar und f´(0) stimmt mit dem gefundenen Grenzwert überein".
Ich soll jetzt zu dieser erläuterte Strategie einen Satz formulieren, der die Differenzierbarkeit von f im Nullpunkt sichert und ihn beweisen.
Ich habe nur nicht so eine richtige Idee, wie dieser Satz aussehen könnte.
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Hallo looney_tune,
es steht doch schon fast alles da.
> "Die Funktion f ist auf IR^ n \ {0} sicherlich
> di fferenzierbar, ich kann dort also die Ableitungsfunktion
> f´ bilden. Wenn ich nun zeigen kann, dass f im Nullpunkt
> stetig ist und der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x) für x [mm]\not=[/mm] 0
Da fehlt ein wesentlicher Strich. Hier geht es um den Grenzwert der Ableitungsfunktion!
> existiert, dann ist f auch im Nullpunkt differenzierbar
> und f´(0) stimmt mit dem gefundenen Grenzwert überein".
>
>
> Ich soll jetzt zu dieser erläuterte Strategie einen Satz
> formulieren, der die Differenzierbarkeit von f im Nullpunkt
> sichert und ihn beweisen.
> Ich habe nur nicht so eine richtige Idee, wie dieser Satz
> aussehen könnte.
Na, im Prinzip so wie es da steht. Wenn f(x) in [mm] x_0=0 [/mm] stetig ist, und in [mm] D\setminus\{x_0\} [/mm] differenzierbar, so ist die Stetigkeitslücke der Ableitungsfunktion f'(x) genau dann hebbar, wenn der Grenzwert...
Oder so ähnlich.
Grüße
reverend
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danke, für die schnelle Antwort.
Nun gut, ich würde den Satz mit den gegebenen Sachen formulieren.
Aber wie kann ich ihn Beweisen? und dann soll die Stetigkeit von f für die Strategie wichtig sein, weil ohne die Stetigkeit die Aussage falsch sei. Aber warum spielt denn die Stetigkeit von f so eine wichtige Rolle?
Was wäre denn ein Beispiel dafür?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Fr 21.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke, für die schnelle Antwort.
> Nun gut, ich würde den Satz mit den gegebenen Sachen
> formulieren.
> Aber wie kann ich ihn Beweisen?
Ich zeid Dir mal, wie man das im Falle n=1 zeigen kann. Du verallgemeinerst dann:
Sei [mm] L:=\limes_{x \to 0}f'(x)
[/mm]
Sei x [mm] \ne [/mm] 0. Dann ist f auf [0,x] (bzw [x,0]) stetig und auf (0,x) (bzw (x,0) ) differentierbar.
Nach dem Mittelwertsatz ex. ein [mm] a_x [/mm] zwischen 0 und x mit:
[mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(a_x).
[/mm]
Obiger Quotient strebt also gegen L, wenn x [mm] \to [/mm] 0.
> und dann soll die
> Stetigkeit von f für die Strategie wichtig sein, weil ohne
> die Stetigkeit die Aussage falsch sei. Aber warum spielt
> denn die Stetigkeit von f so eine wichtige Rolle?
> Was wäre denn ein Beispiel dafür?
Betrachte f : [mm] \IR \to \IR [/mm] def. durch
f(x)=1, falls x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0)=0
FRED
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