Differenzierbarkeit prüfen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 14.05.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit
a)
f(x) = |x-5|+6*x
b)
f(x) = [mm] \wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}
[/mm]
c)
f(x) = [mm] |\sin{3x}| [/mm] |
Hi !
Mit der Aufgabe komme ich gar nicht klar, deswegen kann ich auch keinen eigenen Lösungsansatz posten (leider).
Ich kenne zwar die Def. von Diffbarkeit, also diffbar in [mm] x_{0}, [/mm] wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] existiert.
Aber irgendwie hilft mir das nix, es gibt ja unendlich viele Punkte.
Muss ich das allgemein nachweisen oder gibt es da einen anderen Weg?
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Hallo unR34L,
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf
> Differenzierbarkeit
>
> a)
>
> f(x) = |x-5|+6*x
>
> b)
>
> f(x) = [mm]\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}[/mm]
>
> c)
>
> f(x) = [mm]|\sin{3x}|[/mm]
> Hi !
>
> Mit der Aufgabe komme ich gar nicht klar, deswegen kann ich
> auch keinen eigenen Lösungsansatz posten (leider).
>
> Ich kenne zwar die Def. von Diffbarkeit, also diffbar in
> [mm]x_{0},[/mm] wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> existiert.
>
> Aber irgendwie hilft mir das nix, es gibt ja unendlich
> viele Punkte.
>
> Muss ich das allgemein nachweisen oder gibt es da einen
> anderen Weg?
Das solltest du schon allg. machen.
Bei (a) hilft es, wenn man das Teil mal betragsfrei schreibt
Es ist [mm] $f(x)=|x-5|+6x=\begin{cases} (x-5)+6x=7x-5, & \mbox{für } x\ge 5 \\ -(x-5)+6x=5x+5, & \mbox{für } x<5 \end{cases}$
[/mm]
Beide Teilfunktionen sind ersichtlich in [mm] $x_0\neq [/mm] 5$ diffbar, das kannst du für jede der Teilfunktionen leicht mit dem Differenzenquotienten nachrechnen.
Gib dir dazu ein bel. [mm] $x_0\neq [/mm] 5$ vor und stelle den Differenzenquotienten mal auf, du hast 2 Fälle: einmal [mm] $x_0>5$ [/mm] und [mm] $x_0<5$, [/mm] je nachdem hat du eine andere Def. für $f$
Kritisch ist allein die Nahtstelle [mm] $x_0=5$
[/mm]
Hier untersuche den linksseitigen und den rechtsseitigen Limes [mm] $\lim\limits_{x\uparrow\downarrow 5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}$ [/mm] ...
Je nachdem, von welcher Seite du dich mit x dem [mm] x_0=5 [/mm] näherst, ist $f(x)$ anders definiert ...
Bei (b) kläre mal, wo die Funktion überhaupt definiert ist und untersuche mal an den Grenzen des Def. bereiches auf Diffbarkeit ...
Bei (c) schaue dir auch die Nahstellen an, der Sinus als solches ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] diffbar, wie sieht's an den Nahtstellen aus, wo der Sinus vom Positiven ins Negative geht, allein das hat Auswirkungen auf den Betrag...
Probiere mal, wie weit du kommst ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 14.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> Bei (a) hilft es, wenn man das Teil mal betragsfrei
> schreibt
>
> Es ist [mm]f(x)=|x-5|+6x=\begin{cases} (x-5)+6x=7x-5, & \mbox{für } x\ge 5 \\ -(x-5)+6x=5x+5, & \mbox{für } x<5 \end{cases}[/mm]
>
> Beide Teilfunktionen sind ersichtlich in [mm]x_0\neq 5[/mm] diffbar,
> das kannst du für jede der Teilfunktionen leicht mit dem
> Differenzenquotienten nachrechnen.
>
> Gib dir dazu ein bel. [mm]x_0\neq 5[/mm] vor und stelle den
> Differenzenquotienten mal auf, du hast 2 Fälle: einmal
> [mm]x_0>5[/mm] und [mm]x_0<5[/mm], je nachdem hat du eine andere Def. für [mm]f[/mm]
1. Fall ([mm]x_0>5[/mm] )
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*x-7*x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
2. Fall [mm] (x_{0} [/mm] < 5)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{5*x-5*x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Hier muss ich doch nachweisen, dass der GW exisitiert oder ? Muss ich dazu die Gleichungen noch weiter umformen ?
>
> Kritisch ist allein die Nahtstelle [mm]x_0=5[/mm]
>
> Hier untersuche den linksseitigen und den rechtsseitigen
> Limes [mm]\lim\limits_{x\uparrow\downarrow 5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}[/mm]
> ...
>
> Je nachdem, von welcher Seite du dich mit x dem [mm]x_0=5[/mm]
> näherst, ist [mm]f(x)[/mm] anders definiert ...
3. Fall [mm] x_{0}=5 [/mm] und x > 5 (also von rechts an [mm] x_{0} [/mm] annähern)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*x-35}{x-5} [/mm] = 7
4. Fall [mm] x_{0}=5 [/mm] und x < 5 (also von links an [mm] x_{0} [/mm] annähern)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{5*x-25}{x-5} [/mm] = 5
An der Nahtstelle gilt also Links-seitiger GW ungleich Rechts-seitiger GW, also existiert für f(x) an der stelle x = 5 kein Grenzwert und damit ist die Funktion an der Stelle nicht differentierbar. Stimmt das soweit ?
Mit b) und c) werd ich mich morgen befassen.
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Hallo nochmal,
> > Bei (a) hilft es, wenn man das Teil mal betragsfrei
> > schreibt
> >
> > Es ist [mm]f(x)=|x-5|+6x=\begin{cases} (x-5)+6x=7x-5, & \mbox{für } x\ge 5 \\ -(x-5)+6x=5x+5, & \mbox{für } x<5 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Beide Teilfunktionen sind ersichtlich in [mm]x_0\neq 5[/mm] diffbar,
> > das kannst du für jede der Teilfunktionen leicht mit dem
> > Differenzenquotienten nachrechnen.
> >
> > Gib dir dazu ein bel. [mm]x_0\neq 5[/mm] vor und stelle den
> > Differenzenquotienten mal auf, du hast 2 Fälle: einmal
> > [mm]x_0>5[/mm] und [mm]x_0<5[/mm], je nachdem hat du eine andere Def. für [mm]f[/mm]
>
> 1. Fall ([mm]x_0>5[/mm] )
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*x-7*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> 2. Fall [mm](x_{0}[/mm] < 5)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{5*x-5*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hier muss ich doch nachweisen, dass der GW exisitiert oder
> ?
Ja sicher!
> Muss ich dazu die Gleichungen noch weiter umformen ?
Das ist ratsam, versuch's mit Ausklammern in den Zählern ...
>
>
> >
> > Kritisch ist allein die Nahtstelle [mm]x_0=5[/mm]
> >
> > Hier untersuche den linksseitigen und den rechtsseitigen
> > Limes [mm]\lim\limits_{x\uparrow\downarrow 5}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}[/mm]
> > ...
> >
> > Je nachdem, von welcher Seite du dich mit x dem [mm]x_0=5[/mm]
> > näherst, ist [mm]f(x)[/mm] anders definiert ...
>
> 3. Fall [mm]x_{0}=5[/mm] und x > 5 (also von rechts an [mm]x_{0}[/mm]
> annähern)
>
> [mm] $\limes_{x\rightarrow\red{5}}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\limes_{x\rightarrow\red{5}}\frac{7*x-35}{x-5} [/mm] = 7$
>
> 4. Fall [mm]x_{0}=5[/mm] und x < 5 (also von links an [mm]x_{0}[/mm]
> annähern)
>
> [mm] $\limes_{x\rightarrow\red{5}}\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\limes_{x\rightarrow\red{5}}\frac{5*x-25}{x-5} [/mm] = 5$
>
> An der Nahtstelle gilt also Links-seitiger GW ungleich
> Rechts-seitiger GW, also existiert für f(x) an der stelle x
> = 5 kein Grenzwert und damit ist die Funktion an der Stelle
> nicht differentierbar. Stimmt das soweit ? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja prima! Ich bin begeistert 
>
> Mit b) und c) werd ich mich morgen befassen.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Fr 15.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> 1. Fall ([mm]x_0>5[/mm] )
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*x-7*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
>
> 2. Fall [mm](x_{0}[/mm] < 5)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{5*x-5*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> >
> > Hier muss ich doch nachweisen, dass der GW exisitiert oder
> > ?
> Ja sicher!
> > Muss ich dazu die Gleichungen noch weiter umformen ?
> Das ist ratsam, versuch's mit Ausklammern in den Zählern
War doch schon spät gestern ;) hätte mir gleich auffallen müssen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7\cdot{}x-7\cdot{}x_{0}}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*(x-x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = 7
Genauso gehts für den zweiten.
> Bei (b) kläre mal, wo die Funktion überhaupt definiert ist
> und untersuche mal an den Grenzen des Def. bereiches auf
> Diffbarkeit ...
f(x) [mm] =\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2\cdot{}x}
[/mm]
Definitionsbereich: [mm] -1\le x\le2
[/mm]
Grenzen auf Differenzierbarkeit prüfen:
1. Fall [mm] x_{0} [/mm] = -1
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}= \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}-\wurzel{6}}{x+1}
[/mm]
2. Fall [mm] x_{0} [/mm] = 2
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{f(x)-f(2)}{x-2}= \limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}-\wurzel{3}}{x-2}
[/mm]
GW-Berechnung ist nicht meine Stärke, von daher weiß ich nicht wie ich hier weiter umformen muss, um das auszurechnen. :-(
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Hallo nochmal,
> > 1. Fall ([mm]x_0>5[/mm] )
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*x-7*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
>
> >
> >
> > 2. Fall [mm](x_{0}[/mm] < 5)
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{5*x-5*x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
> >
> > >
> > > Hier muss ich doch nachweisen, dass der GW exisitiert oder
> > > ?
> > Ja sicher!
> > > Muss ich dazu die Gleichungen noch weiter umformen ?
> > Das ist ratsam, versuch's mit Ausklammern in den Zählern
>
> War doch schon spät gestern ;) hätte mir gleich auffallen
> müssen.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7\cdot{}x-7\cdot{}x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\frac{7*(x-x_{0})}{x-x_{0}}[/mm] =
> 7
>
> Genauso gehts für den zweiten.
>
>
>
> > Bei (b) kläre mal, wo die Funktion überhaupt definiert ist
> > und untersuche mal an den Grenzen des Def. bereiches auf
> > Diffbarkeit ...
>
> f(x) [mm]=\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2\cdot{}x}[/mm]
>
> Definitionsbereich: [mm]-1\le x\le2[/mm]
>
> Grenzen auf Differenzierbarkeit prüfen:
>
> 1. Fall [mm]x_{0}[/mm] = -1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}= \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}-\wurzel{6}}{x+1}[/mm]
wobei hier der rechtsseitige Limes gemeint ist, links von -1 ist die Fkt. ja nicht definiert
>
> 2. Fall [mm]x_{0}[/mm] = 2
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{f(x)-f(2)}{x-2}= \limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2*x}-\wurzel{3}}{x-2}[/mm]
ebenso hier: gemeint als linksseitiger Limes ...
>
> GW-Berechnung ist nicht meine Stärke, von daher weiß ich
> nicht wie ich hier weiter umformen muss, um das
> auszurechnen. :-(
Hmm, bei direktem Grenzübergang streben die beiden Limites ja gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] (wenn ich mich nicht verguckt habe)
Da böte sich doch Monsieur de l'Hôpital und seine Regel an ...
Eine "geschickte" Umformung sehe ich so auf einen Blick auch nicht, wenn mir noch was einfällt, schreie ich laut.
Aber mit de l'Hôpital klappt es auf jeden Fall ..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 15.05.2009 | | Autor: | unR34L |
Ich denke, du meinst beim zweiten Fall "linksseitiger GW", da die Funktion ja nur für Werte kleiner 2 definiert ist.
Ok, habe also nach l'Hospital die Ableitung des Nenners und des Zählers gebildet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2\cdot{}x}-\wurzel{6}}{x+1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{1}{2*(x+1)^{\bruch{1}{2}}}-\bruch{1}{(4-2*x)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{4-2\cdot{}x}-\wurzel{3}}{x-2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2}\bruch{1}{2*(x+1)^{\bruch{1}{2}}}-\bruch{1}{(4-2*x)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
Ist das erste mal, dass ich l'Hospital anwende.
Was muss man jetzt machen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 15.05.2009 | | Autor: | unR34L |
> Berechne die Limites der letzten Ausdrücke ...
>
> Im ersten Fall strebt das für [mm]x\downarrow -1[/mm] gegen
> [mm]\frac{1}{0}-\frac{1}{\sqrt{6}}=\infty[/mm], im zweiten Fall
Sorry, das verstehe ich noch nicht. Wieso strebt [mm] \frac{1}{0}-\frac{1}{\sqrt{6}} [/mm] gegen [mm] \infty?
[/mm]
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> Sorry, das verstehe ich noch nicht. Wieso strebt
> [mm]\frac{1}{0}-\frac{1}{\sqrt{6}}[/mm] gegen [mm]\infty?[/mm]
Hallo,
wogegen strebert denn [mm] "\frac{1}{0}"?
[/mm]
Gruß v. Angela
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