Differenzierbarkeit prüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, ob die die folgende Funktion im angegebenen Definitionsbereich differenzierbar ist und berechnen Sie $Df$, falls dies der Fall ist:
$f(x,y,z) = [mm] \vektor{1+ln(x) \\ x \cdot \wurzel{y} + \wurzel{z}}$ [/mm] für $x,y,z > 0$ |
Hallo zusammen,
wenn ich richtig nachgeschlagen haben, dann kennzeichnet $Df$ das totale Differential das existiert, wenn die Funktion total differenzierbar ist.
Weiter ist die Funktion (im angegebenen Definitionsbereich) total differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen der Funktion existieren und stetig sind.
Stimmt das erstmal soweit?
Um die Existenz der partiellen Ableitungen (nach x, nach y und und nach z) zu zeigen, verwende ich die Definition der partiellen Ableitung über den Grenzwert.
Also:
[mm] $f_x [/mm] = [mm] \frac{df}{dx} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h,y,z) - f(x,y,z)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{\vektor{1+ln(x+h) \\ (x+h) \cdot \wurzel{y} + \wurzel{z}} - \vektor{1+ln(x) \\ x \cdot \wurzel{y} + \wurzel{z}}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \frac{\vektor{ln(\frac{x+h}{x}) \\ h \cdot \wurzel{y}}}{h}
[/mm]
Beide Komponenten des Vektors gehen nun gegen null, damit geht der ganze Zähler gegen null – der Nenner natürlich sowieso.
Was muss ich hier nun tun? l'Hosptial anwenden?
Ich habe das dumpfe Gefühl, dass dieser Grenzwert gar nicht existiert …
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir hier weiterhelfen könnt.
Viele Grüße
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Bist du der Meinung dass irgendwo Probleme auftreten könnten?
Spezielle Punkte an denen ggf. Unstetigkeit vorliegt? Oder an denen eventuell nicht diffbar bzw. vll nicht stetig diffbar?
Lg Thomas
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Hallo Thomas,
> Bist du der Meinung dass irgendwo Probleme auftreten
> könnten?
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> Spezielle Punkte an denen ggf. Unstetigkeit vorliegt? Oder
> an denen eventuell nicht diffbar bzw. vll nicht stetig
> diffbar?
ich hab leider keine Idee dazu – mein Ansatz war wirklich, hier die besagten Grenzwerte zu bestimmen und dann weiter zu sehen. Wenn ich dann auf einen nicht-existierenden Grenzwert stoße, dann hat sich das mit der Differenzierbarkeit ja schon erledigt und ich wäre fertig mit der Aufgabe.
Aber Punkte, an denen Probleme auftreten könnten, sehe ich so erstmal nicht. Ich habe auch keine weitere Vorstellung von dem Aussehen der Funktion …
Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du brauchst doch keine Differezenquotienten !
Sei D:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x,y,z>0 \} und
$ g(x,y,z) = 1+ln(x) $ und $h(x,y,z)=x \cdot \wurzel{y} + \wurzel{z}} $
Es gilt: f ist auf D differenzierbar \gdw g und h sind auf D differenzierbar.
Nun überzeuge Dich davon, dass die partiellen Ableitungen
g_x, g_y, g_z und h_x, h_y, h_z
auf D vorhanden und stetig sind.
Es folgt: g und h sind auf D differenzierbar.
Z.b: ist g_x=1/x, g_z=0 auf D.
Oder : h_z= \bruch{1}{2 \wurzel{z}} auf D.
FRED
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Hallo Fred,
> Sei [mm]D:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x,y,z>0 \}[/mm] und
>
> [mm]g(x,y,z) = 1+ln(x)[/mm] und [mm]h(x,y,z)=x \cdot \wurzel{y} + \wurzel{z}}[/mm]
>
> Es gilt: f ist auf D differenzierbar [mm]\gdw[/mm] g und h sind
> auf D differenzierbar.
>
>
> Nun überzeuge Dich davon, dass die partiellen Ableitungen
>
> [mm]g_x, g_y, g_z[/mm] und [mm]h_x, h_y, h_z[/mm]
>
> auf D vorhanden und stetig sind.
das kann ich ja nachvollziehen, aber wie überzeuge ich mich jetzt ohne Nutzung der Differentialquotienten von der Existenz der partiellen Ableitungen – denn die Differentialquotienten sind ja eben die partiellen Ableitungen (und umgekehrt).
Kannst Du das eventuell noch näher erklären?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 16.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die einzelnen Funktionen differenyierbar sind weisst du aus der 1d Analysis, ich denke, das musst du nicht mehr zeigen. der einyige kritische Punkt (0,0,0) ist ja nicht im Def. Gebiet.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> dass die einzelnen Funktionen differenyierbar sind weisst
> du aus der 1d Analysis, ich denke, das musst du nicht mehr
> zeigen. der einyige kritische Punkt (0,0,0) ist ja nicht im
> Def. Gebiet.
ich hab das jetzt trotzdem gezeigt – das war zwar ein wenig Schreibarbeit, hat aber ganz gut funktioniert.
Nun muss ich ja noch $Df$ angeben. Das ist doch einfach die Aufsummierung aller partiellen Ableitungen, oder?
Also:
$Df = [mm] \frac{1}{x} [/mm] dx + [mm] \wurzel{y} [/mm] dx + [mm] \frac{x}{2 \cdot \wurzel{y}} [/mm] dy + [mm] \frac{1}{2 \cdot \wurzel{z}} [/mm] dz$
Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo leduart,
>
> > dass die einzelnen Funktionen differenyierbar sind weisst
> > du aus der 1d Analysis, ich denke, das musst du nicht mehr
> > zeigen. der einyige kritische Punkt (0,0,0) ist ja nicht im
> > Def. Gebiet.
>
> ich hab das jetzt trotzdem gezeigt – das war zwar ein
> wenig Schreibarbeit, hat aber ganz gut funktioniert.
>
> Nun muss ich ja noch [mm]Df[/mm] angeben. Das ist doch einfach die
> Aufsummierung aller partiellen Ableitungen, oder?
Quatsch !
Df ist die Jacobi-Matrix.
FRED
>
> Also:
>
> [mm]Df = \frac{1}{x} dx + \wurzel{y} dx + \frac{x}{2 \cdot \wurzel{y}} dy + \frac{1}{2 \cdot \wurzel{z}} dz[/mm]
>
> Gruß
> Patrick
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> Df ist die Jacobi-Matrix.
Ist das so? In meinen Vorlesungsmitschriften habe ich notiert, dass $Df$ totales Differential oder Ableitung von f heißt.
Allerdings steht da auch, dass [mm] $D_u [/mm] f$ die Matrix der partiellen Ableitungen ist – und das ist ja die Jacobi-Matrix (interessanterweise taucht das Wort Jacobi-Matrix aber nirgends auf).
Die Jacobi-Matrix sieht dann so aus, oder?
[mm] \pmat{ \bruch{1}{x} & 0 & 0 \\ \wurzel{y} & \bruch{x}{2 \wurzel{y}} & \bruch{1}{2 \wurzel{z}} }
[/mm]
>
> FRED
> >
> > Also:
> >
> > [mm]Df = \frac{1}{x} dx + \wurzel{y} dx + \frac{x}{2 \cdot \wurzel{y}} dy + \frac{1}{2 \cdot \wurzel{z}} dz[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > Patrick
>
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Hallo Apfelchips,
Eventuell kennst du die Jacobi Matrix unter dem Namen Funktionalmatrix. Sie hat als Zeilen den Gradienten der Komponenten deiner Funktion.
Der Gradient wird dir vermutlich bekannt sein: Es ist der Vektor [mm] (\frac{df}{dx_{1}}......\frac{df}{dx_{n}})(x) [/mm] - Wäre nun der Gradient von f an der Stelle x.
die Jacobimatrix hat demzufolge die allg. Form:
[mm] \begin{pmatrix} \frac{df_{1}}{dx_{1}}... & ...\frac{df_{1}}{dx_{n}} \\ \frac{df_{k}}{dx_{1}}... & ...\frac{df_{k}}{dx_{n}} \end{pmatrix}
[/mm]
Nun kannst du leicht prüfen ob deine Matrix korrekt ist.
LG
Ps: Sieh dir mal an was denn das Totale Differential ist - dann wird dir der Zusammenhang mit der Jacobimatrix klar.
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Hallo Thomas,
danke für Deine Ausführungen.
> Eventuell kennst du die Jacobi Matrix unter dem Namen
> Funktionalmatrix. Sie hat als Zeilen den Gradienten der
> Komponenten deiner Funktion.
> Der Gradient wird dir vermutlich bekannt sein: Es ist der
> Vektor [mm](\frac{df}{dx_{1}}......\frac{df}{dx_{n}})(x)[/mm] -
> Wäre nun der Gradient von f an der Stelle x.
Demnach ist meine Jacobi-Matrix korrekt: In der ersten Zeile steht der Gradient der ersten Komponente von $f(x,y,z)$ und in der zweiten Zeile entsprechend der Gradient der zweiten Komponente.
> Ps: Sieh dir mal an was denn das Totale Differential ist - dann wird dir der Zusammenhang mit der Jacobimatrix klar.
Ableitung, totales Differenzial und Jacobi-Matrix bezeichnen alle ein und dasselbe, stimmt's? Denn die Jacobi-Matrix beinhaltet ja eben alle partiellen Ableitungen (in einem Punkt) – und das totale Differential ist die Aufsummierung aller partiellen Ableitungen. Der Unterschied liegt also in der Darstellungsweise.
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> Hallo Thomas,
>
> danke für Deine Ausführungen.
>
> > Eventuell kennst du die Jacobi Matrix unter dem Namen
> > Funktionalmatrix. Sie hat als Zeilen den Gradienten der
> > Komponenten deiner Funktion.
> > Der Gradient wird dir vermutlich bekannt sein: Es ist
> der
> > Vektor [mm](\frac{df}{dx_{1}}......\frac{df}{dx_{n}})(x)[/mm] -
> > Wäre nun der Gradient von f an der Stelle x.
>
> Demnach ist meine Jacobi-Matrix korrekt: In der ersten
> Zeile steht der Gradient der ersten Komponente von [mm]f(x,y,z)[/mm]
> und in der zweiten Zeile entsprechend der Gradient der
> zweiten Komponente.
>
> > Ps: Sieh dir mal an was denn das Totale Differential ist -
> dann wird dir der Zusammenhang mit der Jacobimatrix klar.
>
> Ableitung, totales Differenzial und Jacobi-Matrix
> bezeichnen alle ein und dasselbe, stimmt's? Denn die
> Jacobi-Matrix beinhaltet ja eben alle partiellen
> Ableitungen (in einem Punkt) – und das totale
> Differential ist die Aufsummierung aller partiellen
> Ableitungen. Der Unterschied liegt also in der
> Darstellungsweise.
Ja bei hinreichend glatten Funktionen ist die Jacobimatrix genau die totale Ableitung.
Lg
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