Differenzierbarkeit zeigen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 14.08.2011 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Zeige, dass folgende Funktionen beliebig oft differenzierbar sind und berechne ihre Taylorreihe um x = 0. Gib jeweils den Konvergenzradius an. Wo stellen die Taylorreihen die Funktionen dar?
a) f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] f(x)= [mm] \begin{cases} exp(-x^{-2}), & wenn x \not= 0 \\ 0, & wenn x = 0 \end{cases}
[/mm]
b) g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] g(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{cos(n^{2}x)}{2^{n}} [/mm] |
Guten Tag,
Ich habe ein grosses Problem mit dieser Aufgabe:
Ich verstehe nicht, wie man vorgehen muss, wenn man zeigen möchte, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist.
Bis jetzt habe ich folgendes für a):
Erstmal ist f(0) = 1
Um die Taylorreihe im Punkt x=0 auszurechnen habe ich die Ableitungen gebildet:
f'(x) = [mm] \begin{cases} 2x^{-3} e^{-x^{-2}}, wenn x \not= 0 \\ 0, wenn x = 0 \end{cases}
[/mm]
f'(0) = 0
f''(x) = [mm] \begin{cases} -6x^{-4}e^{-x^{-2}} + 4x^{-6}e^{-x^{-2}}, wenn x \not= 0 \\ 0, wenn x=0 \end{cases}
[/mm]
f''(0) = 0
Ich habe beobachtet, dass wahrscheinlich die Funktion immer weiter ableitbar ist, und die x immer bleiben werden. Ich denke, man darf also davon ausgehen, dass
[mm] f^{n}(0) [/mm] = 0
Somit wäre die Taylorreihe = 1
Ist dieser Ansatz richtig? WIe kann ich beweisen, dass eine Funktion n mal differenzierbar ist? Hier habe ich es ja mehr nach Gefühl gemacht.
Vielen Dank!
Liebe Grüsse,
Natascha
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Hallo,
> Bis jetzt habe ich folgendes für a):
> Erstmal ist f(0) = 1
das ist leider schon einmal falsch. f(0) = 0 per definitionem!
> Um die Taylorreihe im Punkt x=0 auszurechnen habe ich die
> Ableitungen gebildet...:
ich denke, die Tatsache, dass man zunächst zeigen soll, dass f(x) in x=0 beliebig oft diffbar ist, hat seinen Grund. Was kann man denn über folgenden Grenzwert sagen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left(x^{-n}*e^{-x^{-2}}\right) [/mm] ; [mm] n\in\IN
[/mm]
?
Und dann wäre die Frage, was alles verwendet werden darf. Habt ihr de l'Hospital schon durchgenommen, dann ist die Frage nach der Diffbarkeit schnell beantwortet. Und dürfen bekannte Taylorreihen verwendet werden?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 14.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige, dass folgende Funktionen beliebig oft
> differenzierbar sind und berechne ihre Taylorreihe um x =
> 0. Gib jeweils den Konvergenzradius an. Wo stellen die
> Taylorreihen die Funktionen dar?
> a) f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] f(x)= [mm]\begin{cases} exp(-x^{-2}), & wenn x \not= 0 \\ 0, & wenn x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> b) g: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] g(x) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{cos(n^{2}x)}{2^{n}}[/mm]
>
> Guten Tag,
>
> Ich habe ein grosses Problem mit dieser Aufgabe:
> Ich verstehe nicht, wie man vorgehen muss, wenn man zeigen
> möchte, dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar
> ist.
>
> Bis jetzt habe ich folgendes für a):
> Erstmal ist f(0) = 1
Hallo Natascha,
woher nimmst du diese bahnbrechende Erkenntnis?
Ich zitiere mal die Aufgabe (das Wesentliche ist rot geschrieben):
f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] [mm] \red{ f(x)= }[/mm] [mm]\begin{cases} exp(-x^{-2}), & wenn x \not= 0 \\ \red{0}, & \red{wenn x = 0} \end{cases}[/mm]
> Um die Taylorreihe im Punkt x=0 auszurechnen habe ich die
> Ableitungen gebildet:
> f'(x) = [mm]\begin{cases} 2x^{-3} e^{-x^{-2}}, wenn x \not= 0 \\ 0, wenn x = 0 \end{cases}[/mm]
Es besteht durchaus die Gefahr, dass f an der Stelle x=0 nicht einmal stetig sein könnte, damit ist eine derart formale Angabe einer Ableitung an der Stelle 0 unsinnig!
Weise erst einmal nach, dass der Grenzwert von f(x) für x gegen Null tatsächlich Null ergibt.
Gruß Abakus
>
> f'(0) = 0
>
> f''(x) = [mm]\begin{cases} -6x^{-4}e^{-x^{-2}} + 4x^{-6}e^{-x^{-2}}, wenn x \not= 0 \\ 0, wenn x=0 \end{cases}[/mm]
>
> f''(0) = 0
>
> Ich habe beobachtet, dass wahrscheinlich die Funktion immer
> weiter ableitbar ist, und die x immer bleiben werden. Ich
> denke, man darf also davon ausgehen, dass
> [mm]f^{n}(0)[/mm] = 0
>
> Somit wäre die Taylorreihe = 1
> Ist dieser Ansatz richtig? WIe kann ich beweisen, dass eine
> Funktion n mal differenzierbar ist? Hier habe ich es ja
> mehr nach Gefühl gemacht.
>
> Vielen Dank!
> Liebe Grüsse,
> Natascha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 14.08.2011 | | Autor: | natascha |
Hallo,
Danke für eure Antworten. Ich habe mich nochmal mit der Theorie befasst und starte hier einen neuen Versuch für diese Aufgabe:
Beweis, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist:
für x [mm] \not= [/mm] 0
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] ist eine Potenzreihe
Schreibe unsere Funktion als Potenzreihe:
[mm] e^{-x^{-2}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-x^{-2})^{n}}{n!}
[/mm]
Von Potenzreihen weiss ich, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Somit ist auch [mm] e^{-x^{-2}} [/mm] beliebig oft differenzierbar, wenn x [mm] \not= [/mm] 0
für x = 0
Ich berechne folgenden Limes:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} e^{-x^{-2}} [/mm] = 1 (?)
Doch was bedeutet das nun? Sollte der nicht 0 sein?
Liebe Grüsse,
Natascha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 So 14.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich weiss nicht ob es ein Problem ist dass die Funktion nicht analytisch ist, d.h. die Taylorreihe entspricht nicht in jedem Punkt der Funktion.
Was ich weiss das stimmt ist: zeige per Induktion dass deine Ableitung immer die Form $x > 0 : [mm] f^{n}(x)= q_{n}(x) \frac{1}{x^{3}}e^{-1/x^{2}}$ [/mm] hat. Dann zeigst du noch die Differenzierbarkeit in 0 und bist fertig.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:57 Mo 15.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> Danke für eure Antworten. Ich habe mich nochmal mit der
> Theorie befasst und starte hier einen neuen Versuch für
> diese Aufgabe:
>
> Beweis, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar
> ist:
> für x [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{x^{n}}{n!}[/mm] ist eine
> Potenzreihe
> Schreibe unsere Funktion als Potenzreihe:
> [mm]e^{-x^{-2}}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-x^{-2})^{n}}{n!}[/mm]
>
> Von Potenzreihen weiss ich, dass sie beliebig oft
> differenzierbar sind. Somit ist auch [mm]e^{-x^{-2}}[/mm] beliebig
> oft differenzierbar, wenn x [mm]\not=[/mm] 0
>
> für x = 0
> Ich berechne folgenden Limes:
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} e^{-x^{-2}}[/mm] = 1 (?)
Hallo,
das ist falsch. Für x gegen Null geht [mm] x^{-2} [/mm] gegen [mm] +\infty, [/mm] dann geht [mm] -x^{-2} [/mm] entsprechend gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Und " [mm] e^{-\infty} [/mm] " = [mm] \bruch{1}{e^{\infty}} [/mm] wird wie gewünscht Null.
Gruß Abakus
> Doch was bedeutet das nun? Sollte der nicht 0 sein?
>
> Liebe Grüsse,
> Natascha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 15.08.2011 | | Autor: | natascha |
> > Hallo,
> >
> > Danke für eure Antworten. Ich habe mich nochmal mit der
> > Theorie befasst und starte hier einen neuen Versuch für
> > diese Aufgabe:
> >
> > Beweis, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar
> > ist:
> > für x [mm]\not=[/mm] 0
> > [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{x^{n}}{n!}[/mm] ist eine
> > Potenzreihe
> > Schreibe unsere Funktion als Potenzreihe:
> > [mm]e^{-x^{-2}}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{(-x^{-2})^{n}}{n!}[/mm]
>
> >
> > Von Potenzreihen weiss ich, dass sie beliebig oft
> > differenzierbar sind. Somit ist auch [mm]e^{-x^{-2}}[/mm] beliebig
> > oft differenzierbar, wenn x [mm]\not=[/mm] 0
> >
> > für x = 0
> > Ich berechne folgenden Limes:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow 0} e^{-x^{-2}}[/mm] = 1 (?)
> Hallo,
> das ist falsch. Für x gegen Null geht [mm]x^{-2}[/mm] gegen
> [mm]+\infty,[/mm] dann geht [mm]-x^{-2}[/mm] entsprechend gegen [mm]-\infty.[/mm]
> Und " [mm]e^{-\infty}[/mm] " = [mm]\bruch{1}{e^{\infty}}[/mm] wird wie
> gewünscht Null.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
Ah ja, da habe ich wohl eine Fehlüberlegung gemacht beim Limes. Reicht das jetzt schon, um zu zeigen, dass f(x) beliebig oft differenzierbar ist für x=0 oder muss man noch mehr zeigen?
Liebe Grüsse,
Natascha
> > Doch was bedeutet das nun? Sollte der nicht 0 sein?
> >
> > Liebe Grüsse,
> > Natascha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mo 15.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst schon, etwa durch induktion nachweisen, dass alle Ableitungen bei 0 0 sind.
b) die Taylorreihe für [mm] x_0=0 [/mm] ist dann was? nicht deine angegebene Reihe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 16.08.2011 | | Autor: | natascha |
> Hallo
> du musst schon, etwa durch induktion nachweisen, dass alle
> Ableitungen bei 0 0 sind.
> b) die Taylorreihe für [mm]x_0=0[/mm] ist dann was? nicht deine
> angegebene Reihe!
> Gruss leduart
>
Die Taylorreihe müsste dann = 0 sein, oder nicht? Weil f(0) ist Null und auch bei den Ableitungen gibt es 0, wenn man [mm] x_0 [/mm] = 0 einsetzt. Stimmt das?
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Hallo natascha,
> > du musst schon, etwa durch induktion nachweisen, dass
> alle
> > Ableitungen bei 0 0 sind.
> > b) die Taylorreihe für [mm]x_0=0[/mm] ist dann was? nicht
> deine
> > angegebene Reihe!
> > Gruss leduart
> >
> Die Taylorreihe müsste dann = 0 sein, oder nicht? Weil
> f(0) ist Null und auch bei den Ableitungen gibt es 0, wenn
> man [mm]x_0[/mm] = 0 einsetzt. Stimmt das?
Wir sind noch bei Aufgabe a), ja?
Wenn Du zeigen kannst, dass alle Ableitungen in x=0 auch Null sind, dann ist auch die Taylorreihe =0, richtig. Kannst Du es denn zeigen? Sooo einfach ist es ja nun auch wieder nicht.
Grüße
reverend
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