Differenzierbarkeitskriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 17.04.2007 | | Autor: | jodib |
| Aufgabe | Ist eine Funktion f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] stetig und rechts und links davon differenzierbar und gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f'(x) [/mm] = a [mm] \in \IR
[/mm]
so ist f an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar mit f´( [mm] x_{0} [/mm] ) = a |
Was ist denn die Aussage von diesem Kriterium und wie wende ich es an?
Gruß
jodib
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 17.04.2007 | | Autor: | jodib |
| Aufgabe | Ich soll die folgende Aufgabe anhand des oben genannten Kriteriums lösen.
Im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] sei die Funktion f:(x)= |cos x| gegeben.
1. Stellen Sie f betragsfrei dar.
2. Bestimmen sie f' und [mm] D_{f'} [/mm] |
Das ist meine Lösung. Ich habs grafisch gelöst mit überlegen wie es rechnerisch funktioniert weiß ich irgendwie nicht. Zum anderen stimmt irgendwas mit der Schreibweise nicht und das Grundlegende habe ich an dem Kriterium noch nicht verstanden, meinte der Lehrer. Aber was ist das? Und wie macht man es rechnerisch? Er hat noch einen Tip gegeben "Basiswechsel". Hilft mir aber auch nicht weiter.
[mm] f(x)=\begin{cases} cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\bruch{\pi}{2}] \wedge [\bruch{3\pi}{2};2 \pi]\\ -cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\bruch{\pi}{2};\bruch{3\pi}{2}] \end{cases}
[/mm]
[mm] f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\pi;2\pi] \\ sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\pi] \end{cases}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Di 17.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich soll die folgende Aufgabe anhand des oben genannten
> Kriteriums lösen.
>
> Im Intervall [mm][0;2\pi][/mm] sei die Funktion f:(x)= |cos x|
> gegeben.
>
> 1. Stellen Sie f betragsfrei dar.
> 2. Bestimmen sie f' und [mm]D_{f'}[/mm]
> Das ist meine Lösung. Ich habs grafisch gelöst mit
> überlegen wie es rechnerisch funktioniert weiß ich
> irgendwie nicht. Zum anderen stimmt irgendwas mit der
> Schreibweise nicht und das Grundlegende habe ich an dem
> Kriterium noch nicht verstanden, meinte der Lehrer. Aber
> was ist das? Und wie macht man es rechnerisch? Er hat noch
> einen Tip gegeben "Basiswechsel". Hilft mir aber auch nicht
> weiter.
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\bruch{\pi}{2}] \wedge [\bruch{3\pi}{2};2 \pi]\\ -cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\bruch{\pi}{2};\bruch{3\pi}{2}] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\pi;2\pi] \\ sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\pi] \end{cases}[/mm]
beim zweiten hast du die Bereiche falsch, es muessen dieselben sein, wie oben.
jetztt musst du die Punkte [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] 3\pi/2 [/mm] auf differenzierbarkeit ueberpruefen. denn an allen anderen stellen ist die fkt sicher diffbar.
und jetzt sieh nach ob dein Kriterium stimmt! stetig ist die fkt ja, was ist mit dem links und rechtsseitigen GW?
Was mit Basiswechsel gemeint ist, weiss ich hier auch nicht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 17.04.2007 | | Autor: | jodib |
> beim zweiten hast du die Bereiche falsch, es muessen
> dieselben sein, wie oben.
> jetztt musst du die Punkte [mm]\pi/2[/mm] und [mm]3\pi/2[/mm] auf
> differenzierbarkeit ueberpruefen. denn an allen anderen
> stellen ist die fkt sicher diffbar.
> und jetzt sieh nach ob dein Kriterium stimmt! stetig ist
> die fkt ja, was ist mit dem links und rechtsseitigen GW?
> Was mit Basiswechsel gemeint ist, weiss ich hier auch
> nicht.
> Gruss leduart
also so
[mm]f(x)=\begin{cases} cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\bruch{\pi}{2}] \wedge [\bruch{3\pi}{2};2 \pi]\\ -cosx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\bruch{\pi}{2};\bruch{3\pi}{2}] \end{cases}[/mm]
[mm]f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [0;\bruch{\pi}{2}] \wedge [\bruch{3\pi}{2};2 \pi] \\ sinx, & \mbox{für } x \mbox{} \in [\bruch{\pi}{2};\bruch{3\pi}{2}] \end{cases}[/mm]
Ja an [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] 3\pi/2 [/mm] ist sie zwar stetig aber nicht differenzierbar.
Aber was ist der springende Punkt an diesem Kriterium?
Wie kommt man auf die Bereiche rechnerisch ich habs ja grafisch gemacht?
Des mit dem Grenzwert hab ich garnicht drauf. Was muß ich da untersuchen?
Gruß
jodib
|
|
|
| |
|
Das Kriterium passt gar nicht zu der Aufgabe. Es versagt hier.
Eine sinnvolle Anwendung wäre:
Der Graph von [mm] f(x)=x^2 [/mm] soll für x>1 in eine Gerade übergehen. Das ganze Gebilde soll diffbar sein.
[mm] f(1)=1^2=1. [/mm] Also hast du ab dem Punkt P(1|1) eine Gerade. Jede Gerade durch P erfüllt die Bedingung, dass der Graph stetig ist. Jetzt müssen aber noch die Steigungen in P übereinstimmen. Für f gilt: f'(x)=2x, also f'(1)=2. Also muss die Gerade auch die Steigung 2 haben: y=2x+b. Damit sie durch P geht, muss b=-1 sein. Somit: f(x) lässt sich für x>1 durch die Gerade y=2x-1 differenzierbar fortführen:
f*(x)= [mm] x^2 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 1 und 2x-1 für x>1 ist eine diffbare Funktion.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Di 17.04.2007 | | Autor: | jodib |
Also nur das ich es jetzt nicht falsch versteh. Das hatte jetzt rein garnichts mit der Aufgabe zu tun, sondern war nur eine neue Aufgabe zu dem von mir genannten Kriterium oder? Sonst bin ich jetzt verwirrt.
Ich muß über dieses Kriterium morgen also fast schon heute referieren. Da kann ich mich auf die Hinterfüße stellen und im Kreis drehen  , das hilft alles nix. Ich muß diese Aufgabe anhand dieses Kriteriums lösen. Auch wenn mir bisher jeder gesagt hat, daß das nicht zu dem Kriterium paßt.
Gruß
jodib
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
siehe meine antwort.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die cosx funktion ist als bekannt vorrausgesetzt, des hal weiss man cosx<0 fuer x in [mm] (\pi/2,3\pi/2), [/mm] deshalb ist in [mm] (\pi/2,3\pi/2) [/mm] |cosx|=-cosx, in den 2 anderen Intervallen ist cosx>0 deshalb |cosx|=cosx mehr ist da nicht zu rechnen. Ob du dir das graphisch anguckst, oder es weisst, oder am Kreis anguckst ist egal.
wenn du [mm] \limes_{x\rightarrow\\pi/2 }f'(x) [/mm] hast ist das
[mm] \limes_{x\rightarrow\\pi/2}(-sinx)=-1 [/mm] von links dann +sinx also +1. linker und rechter GW stimmen nicht ueberein also an der Stelle nicht diffb.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jodib |
Aber was ist an diesem Kriterium so herausragend besonders oder einfach oder hilfreich oder zeitsparend oder ...?
Gruß
Jodib
|
|
|
| |
|
Lies dir oben mein Beispiel durch.
Bemerkung: Wenn das Kriterium nicht funktioniert, heißt das nicht, das die Fkt.nicht diffbar ist. Es handelt sich um eine wenn-dann-Aussage, nicht um eine wenn nicht- dann nicht- Aussage!
Beispiel: die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] für alle rationalen x und f(x)=2x-1 für alle irrationalen x springt immer zwischen der angegebenen Parabel und der angegebenen Geraden hin und her, ist daher nirgends stetig und nirgends diffbar, außer bei x=1: Dort ist sie sowohl stetig als auch diffbar, und nur in diesem einen Punkt. Die Voraussetzungen deines Satzes sind also hier nicht erfüllt, trotzdem liegt aber das gewünschte Ergebnis vor!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jodib |
> Lies dir oben mein Beispiel durch.
>
> Bemerkung: Wenn das Kriterium nicht funktioniert, heißt das
> nicht, das die Fkt.nicht diffbar ist. Es handelt sich um
> eine wenn-dann-Aussage, nicht um eine wenn nicht- dann
> nicht- Aussage!
>
> Beispiel: die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] für alle rationalen x und
> f(x)=2x-1 für alle irrationalen x springt immer zwischen
> der angegebenen Parabel und der angegebenen Geraden hin und
> her, ist daher nirgends stetig und nirgends diffbar, außer
> bei x=1: Dort ist sie sowohl stetig als auch diffbar, und
> nur in diesem einen Punkt. Die Voraussetzungen deines
> Satzes sind also hier nicht erfüllt, trotzdem liegt aber
> das gewünschte Ergebnis vor!
Ich glaub ich bin zu blöd dazu oder es liegt daran das ich schon seit 10 Stunden versuch die Aufgabe zu lösen.
Also das herrausragende an diesem Verfahren ist, dass wenn das Kriterium nicht funktioniert das man dann genausoviel weiß wie vorher nämlich nichts. Also könnte man sagen es war sinnlos. Nur wenn es funktioniert weiß man, dass die Funktion an x0 differenzierbar ist. ???
gruß
jodib
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich muss man ja wenn man differenzierbarkeit zeigt immer den GW des Differentialquotenten von links und von rechts betrachten, wenn die existieren und gleich sind, ist die fkt. diffb.
jetzt ist das bei zusammengesetzten fkt. einfacher. Wenn du schon die Ableitungen kennst, musst du nur noch nachpruefen ob deren Werte von links und von rechts kommend uebereinstimmen.
Wenn sie nicht uebereinstimmen, gilt auch die Umkehrung, also dann sind sie nicht diffb. das kannst du fuer deine Aufgabe verwenden. du musst also bei [mm] \pi/2 [/mm] nicht umstaendlich die differenzenquotienten bilden und von denen feststellen, dass sie ungleich sind!
Spart ne menge Arbeit und denken!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jodib |
> Hallo
> die cosx funktion ist als bekannt vorrausgesetzt, des hal
> weiss man cosx<0 fuer x in [mm](\pi/2,3\pi/2),[/mm] deshalb ist in
> [mm](\pi/2,3\pi/2)[/mm] |cosx|=-cosx, in den 2 anderen Intervallen
> ist cosx>0 deshalb |cosx|=cosx mehr ist da nicht zu
> rechnen. Ob du dir das graphisch anguckst, oder es weisst,
> oder am Kreis anguckst ist egal.
> wenn du [mm]\limes_{x\rightarrow\\pi/2 }f'(x)[/mm] hast ist das
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\pi/2}(-sinx)=-1[/mm] von links dann +sinx
> also +1. linker und rechter GW stimmen nicht ueberein also
> an der Stelle nicht diffb.
> Gruss leduart
>
hallo,
und [mm] D_{f'} [/mm] ist dann [mm] [0;\pi] [/mm] oder?
gruß
jodib
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein!
die Reaktion versteh ich nicht. 1. f [in [mm] 0,2\pi]
[/mm]
2. [mm] in\pi/2 [/mm] und [mm] 3\pi/2 [/mm] NICHT diffb!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jodib |
Ja da hatte ich mich zum einen vertippt und zum anderen wäre es dann auch noch falsch gewesen also hatts dann brutal falsch ausgeschaut
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jodib |
Muß ich denn da bei Limes die H-Methode anwenden oder darf ich auch einfach einsetzen?
Gruß
jodib
|
|
|
|
