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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 30.12.2012 | | Autor: | zitrone |
Hallo!
Hab da eine kleine Frage bei der Aufleitung von [mm] \integral_{}^{}{sin(2x)dx} [/mm] und bitte daher um Hilfe!
Ich kann mir schon denken, welches Integral dazugehört, aber ich soll es anhand der Substitution machen..
Daher dachte ich mir zunächst z= 2x zu setzen. Die Ableitung dazu wäre:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2
Dann würde ich folgendes tun:
sin(z)
=> -cos(z)
Aber wie fahre ich weiter fort, um am Ende das Ergebnis -0,5cos(2x) zu bekommen?
Steh grad auf dem Schlauch...
LG zitrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo zitrone!
> Hallo Loddar,
>
> erstmal Danke für die Antwort!:)
>
> > > Hab da eine kleine Frage bei der Aufleitung von
> > > [mm]\integral_{}^{}{sin(2x)dx}[/mm] und bitte daher um Hilfe!
> >
> > ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Bitte nicht "Aufleitung" ...
> >
> > Und diese Formulierung würde gar heißen, dass man zweimal
> > integrieren muss.
>
>
> Merk ich auch gerade....-.- ![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]")
>
> > > Ich kann mir schon denken, welches Integral dazugehört,
> > > aber ich soll es anhand der Substitution machen..
> > >
> > > Daher dachte ich mir zunächst z= 2x zu setzen. Die
> > > Ableitung dazu wäre:
> > > [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 2
> >
> > ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Forme hier nach [mm]dx \ = \ ...[/mm] um und setze in das
> > Integral ein.
> >
> >
> Also so?:
>
> z=2x
> [mm]\bruch{dz}{dx}=[/mm] 2
> [mm]\bruch{dz}{2}=[/mm] dx
>
> [mm]\integral_{}^{}sin(2x)[/mm]
>
> => sin(z)
> => -1/zcos(z)
Menschenskind, rechnest Du auch so:
[mm] $$(x+2)^2=9$$
[/mm]
[mm] $$(x+2)^2$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow 3^2$$
[/mm]
$$x+2$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] 3$$
$$x=1 [mm] \text{ oder }x=-5\,.$$
[/mm]
.
.
.
Wüßtest Du da noch, was diese "Fetzen" da eigentlich bedeuten und
warum da Folgerungen stehen, obwohl keine Aussagen dabei vorhanden
sind? Ich meine: Als Schmierzettel oder als Puzzelspiel macht das ganze
noch einen gewissen Sinn - aber ansonsten ist das nur für die Tonne,
wenn man nicht nur gerade das Ergebnis IRGENDWIE festgehalten haben
will bei solchen Rechnungen!
Benutze doch bitte die mathematischen Symbole richtig, und schreibe
Folgerungen, wo Folgerungen stehen sollen und Gleichheit, wo eine
Gleichheit hingehört.
Also:
Um
[mm] $$\int \sin(2x)dx$$
[/mm]
zu berechnen (d.h. um EINE Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm]
anzugeben), hast Du [mm] $z=z(x)=2x\,$ [/mm] substituiert und erhältst damit
[mm] $dx=\frac{dz}{2}\,,$ [/mm] also folgt
[mm] $$\int \sin(2x)dx=\int \sin(z)\;\frac{dz}{2}=\frac{1}{2}\int \sin(z)\;dz=\;-\;\frac{1}{2}\cos(z)\,,$$
[/mm]
Jetzt kennen wir also eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \sin(2x)\,$ [/mm] in
der Variablen [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z=2x\,$ [/mm] (genauer gesagt haben wir oben
nachgerechnet, dass mit [mm] $z:=2x\,$ [/mm] nun $x [mm] \mapsto \;-\;\frac{1}{2}\cos(z)$ [/mm] eine Stammfunktion von
$x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm] ist!), nur: wir wollen eine Stammfunktion ja nicht in
substituierten Variablen angeben, sondern in der Ausgangsvariablen.
Resubstitution ist also angesagt: Setze noch [mm] $z=2x\,$ [/mm] in [mm] $\int \sin(2x)\;dx=\;-\;\frac{1}{2}\cos(z)$ [/mm] ein!
Tipp zur Selbstkontrolle Deiner Rechnung: Leite die so berechnete
Funktion in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] gemäß der Kettenregel ab! (Beachte [mm] $\cos\,'=\;\red{-}\;\sin$!)
[/mm]
P.S. Bei
> => -1/zcos(z)
sollte das z wohl eine 2 sein. Aber formal kannst Du Deine
Rechnung echt verbrennen, auch, wenn man sieht, dass Du Dir das richtige
dabei denkst. Lerne DRINGEND, falls Du das noch nicht kannst, es auch
richtig aufzuschreiben!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Hab da eine kleine Frage bei der Aufleitung von
> [mm]\integral_{}^{}{sin(2x)dx}[/mm] und bitte daher um Hilfe!
>
> Ich kann mir schon denken, welches Integral dazugehört,
> aber ich soll es anhand der Substitution machen..
>
> Daher dachte ich mir zunächst z= 2x zu setzen. Die
> Ableitung dazu wäre:
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 2
>
> Dann würde ich folgendes tun:
>
> sin(z)
> => -cos(z)
auch hier: Das, was Du da 'beschreibst' mit [mm] $\sin(z) \Rightarrow -\cos(z)\,,$
[/mm]
ist richtig zu schreiben als
[mm] $$\int \sin(z)\;dz=\;-\;\cos(z)\,.$$
[/mm]
(Jetzt darf der ein oder andere noch meckern und [mm] "$+c\,$ [/mm] mit einer
Konstanten [mm] $c\,$" [/mm] dabei rechterhand ergänzen - ich lasse es weg, weil die
Funktion rechterhand für mich eh alle anderen Stammfunktionen von $z [mm] \mapsto \sin(z)$ [/mm]
als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] repräsentiert!)
Oder man schreibt einen 'einigermaßen' vernünftigen Satz: "Eine
Stammfunktion der Funktion $z [mm] \mapsto \sin(z)$ [/mm] ist durch $z [mm] \mapsto \;-\;\cos(z)$
[/mm]
gegeben."
oder
"Für [mm] $\sin(z)$ [/mm] ist [mm] $\;-\;\cos(z)$ [/mm] eine Stammfunktion..."
oder ähnliches. Das ist zwar auch alles nicht ganz(!) präzise, aber es ist
wesentlich vernünftiger, also [mm] $\sin(z) \Rightarrow -\cos(z)$ [/mm] zu schreiben:
Du schreibst ja auch nicht $x+2 [mm] \Rightarrow [/mm] 4$...
(Was wäre das auch für eine Folgerung? Weder [mm] $x+2\,$ [/mm] ist eine Aussage,
noch ist [mm] $4\,$ [/mm] eine Aussage...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Fr 04.01.2013 | | Autor: | zitrone |
Hallo Marcel!
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!...Ja ich habe wirklich ein Problem damit die Sachen korrekt aufzuschreiben und ja ich wusste bis eben nicht so genau, wieso man es so schreibt..:/
Ich werd mich auf jeden Fall noch einmal damit beschäftigen!
Danke nomma!
LG zitrone
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![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]"){kind=small}
