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Forum "Differenzialrechnung" - Differenzieren einer Funktion
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Differenzieren einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Do 14.12.2006
Autor: McMuskel

Aufgabe
Differenzieren sie die folgende Funktion nach der unabhängigen Variablen.
[mm] y(x)=ln^2(3x^2-6)^3 [/mm]
Summen möglichst weitgehend in Produkte verwandeln, Brüche kürzen!

Erstes Problem:
Kann ich die Funktion so vereinfachen?

[mm] y(x)=ln^2(3x^2-6)^3=ln(3x^2-6)^{3*2}=ln(3x^2-6)^6 [/mm]

Ich habe das jetzt mal so angenommen und mit der Kettenregel abgeleitet:

[mm] y'(x)=6*ln(3x^2-6)^5*\bruch{1}{3x^2-6}*6x [/mm]

[mm] y'(x)=\bruch{36*ln(3x^2-6)^5}{3x^2-6}*x [/mm]

Jo, soweit mein Lösungsweg. Allerdings stimmt mein Ergebnis nicht mit der richtigen Lösung überein.
Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Differenzieren einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Do 14.12.2006
Autor: Gonozal_IX

Hallo,

deine "Vereinfachung" geht so nicht, weil sich das Quadrat auf den ln bezieht und nicht auf das Argument im ln :-)

Ich würds so vereinfachen:

[mm]y(x)=ln^2(3x^2-6)^3[/mm]

[mm]= (ln(3x^2 - 6)^3)^2[/mm] (so ists gemeint)

[mm]=(3ln(3x^2-6))^2[/mm] (Logarithmussgesetz)

[mm]= (3 ln(3*(x^2-2)))^2 [/mm]

[mm]=(3 (ln(3) + ln(x^2-2)))^2 [/mm]

[mm]= 9*(ln3 + ln(x^2-2))^2 [/mm]

[mm]= 9*((ln3)^2 + 2ln(3) * ln(x^2-2) + (ln(x^2-2))^2) [/mm]

[mm]= 9*((ln3)^2 + 2ln(3) * ln[(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})] + (ln[(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})])^2) [/mm]

[mm]=9*((ln3)^2 + 2ln(3) * (ln(x-\sqrt{2}) + ln(x+\sqrt{2})) + (ln(x-\sqrt{2}) + ln(x+\sqrt{2}))^2) [/mm]

und so gehts weiter mit vereinfachen :-)

Schaffst du das nun alleine? :-)
Bezug
                
Bezug
Differenzieren einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Do 14.12.2006
Autor: McMuskel

Ui, das ist ja ein ganz schöner Klammerwald :-)
OK, die Vereinfachung konnt ich nachvollziehen.
Und wie darf ich das nun ableiten? Mit der Produkt- und Kettenregel?
Bezug
                        
Bezug
Differenzieren einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 14.12.2006
Autor: Gonozal_IX

ln(3) ist eine Konstante! Daran denken :-)
Aber sonst einfach Ableiten :-)
Bezug
                                
Bezug
Differenzieren einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Do 14.12.2006
Autor: McMuskel

Ah, gut, dass du das erwähnst. Das erspart mir eine weitere Frage :-) Danke dir!
Bezug
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