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| Aufgabe | Zeige dass folgende Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm] unendlich oft diffbar ist:
[mm]
f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }{ x<0} \\
e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{wenn }{ x>=0}
\end{matrix}\right.
[/mm] |
Hi!
Ich hab mir das so gedacht:
Für [mm]x\not=0[/mm] ist f unendlich oft diffbar, das ist klar.
Also überprüfe ich das nur noch für x=0.
Dazu betrachte ich die links- und rechtsseite Ableitungen:
1.)[mm]
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{0-0}{x-0} = 0[/mm]
2.)
[mm]
\limes_{x\rightarrow 0} f(x) = \limes_{x\rightarrow 0} e^{-\bruch{1}{x}} = 0
[/mm]
also
[mm]
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-0}{x-0} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{e^{-\bruch{1}{x}}-0}{x-0} =
\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x*e^{\bruch{1}{x}}} = 0
[/mm]
Beide sind also 0 und daher (nach Vorlesung) ist die beidseitige Ableitung auch 0.
Und laut Vorlesung ist daher f auch an der Stelle x=0 diffbar.
Meine Fragen dazu:
Ist das soweit richtig?
(Wenn nein, wie könnte ich das sonst machen?)
Wie komme ich auf den Schluss dass das unendlich oft diffbar ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Quarkstollen!
Deine prinzipielle Vorgehensweise ist richtig, hat allerdings noch zwei Haken.
1 . Musst Du noch den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x} [/mm] \ = \ 0$ nachweisen.
2. fehlt noch der Nachweis, dass die Funktion unendlich oft diff'bar ist.
Gruß
Loddar
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Hi!
Danke erstmal!
> 1 . Musst Du noch den Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^{-\bruch{1}{x}}}{x} \ = \ 0[/mm]
> nachweisen.
>
haben wir schonmal in der Vorlesung gemacht, auf das kann ich zurückgreifen
> 2. fehlt noch der Nachweis, dass die Funktion unendlich oft
> diff'bar ist.
stimmt. und wie ich das zeige, weiß ich eben gerade nicht! hast du vllt einen ansatz für mich?
ich habs induktiv versucht, aber sämtliche ableitung ab der ordnung 2 lassen sich nicht so leicht bestimmen (da kommt noch die quotientenregel dazu), deswegen bin ich auf diesem weg gescheitert :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Ableitungen haben die Form p(1/t)*exp(-1/t), wobei p irgendein Polynom ist, welches sich mit jeder weiteren Ableitung verändert, aber eben immer ein Polynom bleibt.
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