Differenzieren im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Zeige mittels Definition, daß die folgenden Funktionen
f1: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR: x_{1} [/mm] -> [mm] (x_{1}, x_{1}^2, x_{1}^3)^T [/mm]
auf den jeweiligen Definitionsbereich differenzierbar sind und bestimme ihre Ableitung. |
| Aufgabe 2 | Die Funktionen [mm] f_{i}: [/mm] D [mm] \in \IR^n [/mm] -> [mm] \IR: [/mm] x -> f(x) und [mm] y_{i}: \IR [/mm] -> [mm] \IR^n: [/mm] t -> y(t), i=1,2,3 sind definiert durch
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] x_{3}^2, y_{1} [/mm] = [mm] (e^t*cost, e^t*sint, e^t)^T
[/mm]
Berechne Die Ableitung von [mm] f_{i} \circ g_{i} [/mm] mittels Kettenregel. Überprüfe das Ergebnis durch direkte Rechnung, dh, durch Bestimmtung von [mm] f_{i}(y_{i}(t)) [/mm] und Differenzieren. |
Hallo!
ad 1)
Was muss ich hier überprüfen? Dass es eine lineare Abbildung gibt (wenn ja, wie finde ich die) oder, dass das Restglied gegen 0 geht? (wenn ja, wie kann ich das zeigen, wie sieht das Restglied aus?)?
ad 2)
Wie wende ich hier die Kettenregel an? Ich habs bereits ausprobiert, aber meine Probe durch direktes einsetzen und differenzieren geht nicht auf.
Ich hab das Konzept jedenfalls mal so verstanden, dass ich die nach der 1. Komponente die äußere Ableitung mit der inneren Abl. zusammenmultipliziere, da dann das gleiche mit der 2., 3., ..., n-ten Komponente mache und dazuzähle.
Ist das richtig so?
thx & greetz
sonnenblumale
|
|
| |
|
Hallo sonnenbumale,
Das Stichwort für Deine Aufgabe ist wohl Jacobi-Matrix.
> ad 1)
> Was muss ich hier überprüfen? Dass es eine lineare
> Abbildung gibt (wenn ja, wie finde ich die) oder, dass das
> Restglied gegen 0 geht? (wenn ja, wie kann ich das zeigen,
> wie sieht das Restglied aus?)?
Hier solltest Du die Jacobi Matrix(die Matrix der partiellen Ableitungen) in die Definition von diffbar einsetzen.
> ad 2)
> Wie wende ich hier die Kettenregel an? Ich habs bereits
> ausprobiert, aber meine Probe durch direktes einsetzen und
> differenzieren geht nicht auf.
Die Kettenregel im mehrdimensionalen funktioniert analog zum 1-D Fall mit den entsprechenden Jacobi-Matrizen. Falls da was nicht klappt solltest Du vllt. genauer darauf eingehen was nicht klappt.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
