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Differenzierung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Mi 16.11.2011
Autor: sunny20

Aufgabe
Differenzieren Sie die nachfolgende Funktion:
f(x)= [mm] (cos(x))^{x} [/mm]



hey,

da es sich hier um eine Verkettung handelt, habe ich versucht die Funktion durch die Kettenregel abzuleiten, bin mir aber nicht sicher ob ich richtig liege mit meinem Ergebnis.

f'(x) = [mm] cos(x)^{cos(x)} [/mm] * (ln (cos(x))+1) * -sin(x)

Kann man das Ergebnis noch weiter vereinfachen?

lg Sunny


        
Bezug
Differenzierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Mi 16.11.2011
Autor: MathePower

Hallo sunny20,

> Differenzieren Sie die nachfolgende Funktion:
> f(x)= [mm](cos(x))^{x}[/mm]
>  
>
> hey,
>  
> da es sich hier um eine Verkettung handelt, habe ich
> versucht die Funktion durch die Kettenregel abzuleiten, bin
> mir aber nicht sicher ob ich richtig liege mit meinem
> Ergebnis.
>  
> f'(x) = [mm]cos(x)^{cos(x)}[/mm] * (ln (cos(x))+1) * -sin(x)
>  


Das stimmt, wenn [mm]f\left(x\right)=\left( \ \cos\left(x}\right) \ \right)^{\cos\left(x}\right)}[/mm]

Laut  Aufgabe ist aber [mm]f\left(x\right)=\left( \ \cos\left(x}\right) \ \right)^{\bluie{x}}[/mm]


> Kann man das Ergebnis noch weiter vereinfachen?

>


Nein.  


> lg Sunny
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Differenzierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Mi 16.11.2011
Autor: sunny20

wie lautet denn dann die verkettung?
Denn ich habe als äußere Funktion [mm] x^{x} [/mm] genommen das wäre ja dann falsch?!

Bezug
                        
Bezug
Differenzierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mi 16.11.2011
Autor: MathePower

Hallo sunny20,

> wie lautet denn dann die verkettung?
>  Denn ich habe als äußere Funktion [mm]x^{x}[/mm] genommen das
> wäre ja dann falsch?!  


Ja.

Schreibe doch zunächst um:

[mm]\left( \ \cos\left(x\right) \ \right)^{x}=e^{x*\ln\left(\ \cos\left(x\right) \ \right)}[/mm]

Dann ist die äußere Funktion [mm]e^{x}[/mm]

Und die innere Funktion: [mm]x*\ln\left(\ \cos\left(x\right) \ \right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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