Differenzierung von Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mo 11.06.2012 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | Differenieren sie die folgende Funktion dabei sind a,b [mm] \in \IR [/mm]
f(x) = [mm] \integral_{15}^{x}{(\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt) dy} [/mm] |
also ich weiß, dass ich die Ableitung so bilden kann :
f'(x) = H(G(x))*G'(x)
In diesem Fall wäre mein H(y) = [mm] (\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt)
[/mm]
und mein G(x)=x
Nun verstehe ich nicht wie man auf das Ergebnis kommt ?
Wie kann das eine Integral mit den Grenzen und y und 8 verschwinden. Mir ist auch aufgefallen, dass die untere Grenze des Integrals 8, nun die untere Grenze des äußeren Integrals ist ?
f'(x) = [mm] \integral_{8}^{x} \bruch{1}{1+x^{2}+sin^2(t)}dt
[/mm]
Und warum sind konstante Integrationsgrenzen unrelevant ? Die Ableitung würde 0 ergeben ?
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Abend,
ich habe mir bei der Aufgabe überlegt, was bei den einzelnen Integrationen herauskommen würde.
[mm] f(x)=\integral_{15}^{x}{(\integral_{8}^{y} \bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t) }dt) dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{15}^{x}(F(y)-C_1)dy=\integral_{15}^{x}F(y)dy-\integral_{15}^{x}C_1dy
[/mm]
[mm] =F_2(x)-C_2-C_1x+C_3
[/mm]
Wobei [mm] C_i [/mm] zunächst Werte sind, die durch das Einsetzen der Grenzen entstehen.
Ableiten der Funktion f(x) nach x ergibt dann:
[mm] f'(x)=F(x)-C_1
[/mm]
Mit der Überlegung, was denn F(y) war und was [mm] C_1, [/mm] bekommt man dann
[mm] f'(x)=\integral_{8}^{x}\bruch{1}{1+t^{2}+sin^{2}(t)}dt
[/mm]
Es gibt gewiss (!) noch intelligentere Lösungen, aber durch nichtexplizites Ausrechnen kommt man offensichtlich auch zum Ziel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall , g: I [mm] \to \IR [/mm] stetig und c [mm] \in [/mm] I.
Setzt man
[mm] f(x):=\integral_{c}^{x}{g(y) dy} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],
so besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung: f ist auf I differenzierbar und f'(x)=g(x) für x [mm] \in [/mm] I.
FRED
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