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| Aufgabe | | Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen [mm]f(x) = x^3[/mm] und [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] mit Hilfe des Differenzzenquotienten durch Grenzübergang. |
Liebe Mathefreunde ;)
Die Lösung laut Lösungsblatt sieht folgend so aus:
[mm]
\bruch{(x^3+3x^2*\Delta x+3x*(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)-x^3}{\Delta x}
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich das Einsetzten in die "Grundform" , welche der Lösung vorausgeht, nicht verstehe ;(
[mm]f'(x) = \limes_{\Delta x\to 0} \bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} < \infty [/mm]
Habe zwar im Internet nachgeschaut, aber solche Sachen wie die H-Methode sind einfach schon zu lange her bei mir ;( Freue mich also über Verständnisanregungen ^^
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> Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung der Funktionen
> [mm]f(x) = x^3[/mm] und [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm] mit Hilfe des
> Differenzzenquotienten durch Grenzübergang.
> Liebe Mathefreunde ;)
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> Die Lösung laut Lösungsblatt sieht folgend so aus:
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> [mm]
\bruch{(x^3+3x^2*\Delta x+3x*(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)-x^3}{\Delta x}
[/mm]
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> Mein Problem ist nun, dass ich das Einsetzten in die
> "Grundform" , welche der Lösung vorausgeht, nicht verstehe
> ;(
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> [mm]f'(x) = \limes_{\Delta x\to 0} \bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} < \infty[/mm]
Hallo,
es geht Dir, wenn ich es recht verstehe, darum, wie Du von
[mm]f'(x) = \limes_{\Delta x\to 0} \bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} [/mm] zu [mm] \bruch{(x^3+3x^2*\Delta x+3x*(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)-x^3}{\Delta x} [/mm] kommst.
Du hast [mm] f(x)=x^3.
[/mm]
Was ist denn f(5)? Es ist [mm] f(5)=5^3, [/mm] und [mm] f(6)=6^3, f(a)=a^3 [/mm] und [mm] f(a+4)=(a+4)^3.
[/mm]
Also ist [mm] f(x+\Delta [/mm] x) [mm] =(x+\Delta x)^3= (x+\Delta x)(x+\Delta x)(x+\Delta [/mm] x), und wenn Du das ausrechnest, bekommst Du [mm] x^3+3x^2*\Delta x+3x*(\Delta x)^2+(\Delta x)^3.
[/mm]
Damit sollte das Rätsel gelöst sein:
es ist [mm] \limes_{\Delta x\to 0} \bruch{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} [/mm] [/mm] = [mm] \limes_{\Delta x\to 0} \bruch{(x^3+3x^2*\Delta x+3x*(\Delta x)^2+(\Delta x)^3)-x^3}{\Delta x} [/mm] = ...
Oben fällt [mm] x^3 [/mm] weg, und dann kannst Du [mm] \Delta [/mm] x kürzen.
Nun den Grenzwert für [mm] \Delta x\to [/mm] 0, und dann solltest Du die wohlbekannte Ableitung dastehen haben.
Gruß v. Angela
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Danke Dir ;) Hab es nun verstanden ^^
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