Differientialform Ableitung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 28.01.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | i)Bilde die äußere Ableitung der Differentialform [mm] \omega [/mm] = [mm] sin(\alpha*x)dx+\alpha*y [/mm] dy
ii) Im [mm] \IR^{3} [/mm] sei [mm] \omega [/mm] die Differentialform
[mm] \omega [/mm] = 2xzdy [mm] \wedge [/mm] dz + dz [mm] \wedge [/mm] dx - [mm] (z^{2}+e^{x})dx \wedge [/mm] dy.
Zeigen Sie, dass [mm] d\omega [/mm] = 0 und bestimmen Sie eine 1-Form [mm] \eta [/mm] mit [mm] \omega [/mm] = [mm] d\eta [/mm] |
Hallo,
habe grad angefangen mich mit Differentialformen zu beschäftigen und mich an der Aufgabe versucht:
i)
[mm] d\omega=dsin(\alpha*x)\wedge dx+d\alpha*y\wedge [/mm] dy = [mm] (\bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial x}dx+\bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y}dy)\wedge dx+(\bruch{\partial\alpha*y}{\partial x}dx+\bruch{\partial\alpha*y}{\partial y}dy)\wedge dy=(\bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y}+\bruch{\partial\alpha*y}{\partial x})dy\wedge [/mm] dy
Wär das jetzt schon die Lösung (wenn sie richtig ist)?
ii)
Da bin ich grad am überlegen, wie ich ganz stupide die äußere Ableitung bilden kann. Nur sieht dieses [mm] \omega [/mm] ein wenig befremdlich aus. Wie geht man denn hier am besten vor?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 28.01.2015 | | Autor: | huddel |
Seltsames System in diesem Forum...
Ist zwr ewigkeiten her, und hoffe daher, dass ich hier keinen Mist erzähle, aber hier mal ne Antwort:
i.: das sieht schon ganz gut aus, außer, dass du da ein paar Klammern vergessen hast $ [mm] d\omega=dsin(\alpha\cdot{}x)\wedge dx+d(\alpha\cdot{}y)\wedge [/mm] dy$, du die alternierende eigenschaft des äußeren Produktes in der letzten Gleichung vergessen hast $dx [mm] \wedge [/mm] dy = - dy [mm] \wedge [/mm] dx$ (da sollte ein Term negativ sein) und du bestimmt $dx [mm] \wedge [/mm] dy$ oder $dy [mm] \wedge [/mm] dx$ meintest (je nach dem, wo du das minus hinsetzt.
ii.: mach doch einfach genau das gleich, wie bei i. und guck, was alles rausfliegt (bleibt ja nur noch ziemlich wenig übrig, wenn du mal fertig differenziert hast)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Do 29.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ach, da bin ich ja schonmal glücklich, dass ich das grundlegende Prinzip verstanden habe :-D
i)
ok, stimmt. Den Vorzeichenwechsel hab ich ja glatt übersehen, also müsste es dann lauten:
[mm] d\omega [/mm] = [mm] dsin(\alpha*x)\wedge [/mm] dx + [mm] d(\alpha*y)\wedge [/mm] dy = [mm] \bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y}*dy\wedge [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial (\alpha*y)}{\partial x}*dx\wedge [/mm] dy = [mm] (\bruch{\partial (\alpha*y)}{\partial x}-\bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y})dx\wedge [/mm] dy
ii)
Da bin ich grad ein wenig ratlos wegen dieses Zeichens in der Differentialform [mm] \wedge [/mm] . Ich weiss nicht, wie man damit jetzt bei der Bildung der Ableitung umgehen soll..... Kannst du da vllt den ersten Schritt erklären? 
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Do 29.01.2015 | | Autor: | huddel |
Hey Topologe,
Zu i.: nun siehts gut aus. Jetzt darfst du dir noch überlegen, was passiert, wenn du das aus differenzierst :D
zu ii.: das $dy [mm] \wedge [/mm] dz$ verhällt sich genau so wie das $dx$ oder $dy$ aus der Aufgabe vorher. also im Grunde sieht es so aus: du hast eine Funktion $f [mm] \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [/mm] und hast dann eine Differentialform z.B. $f [mm] dx_i \wedge dx_j$ [/mm] und bildest nun die äußere Ableitung davon, dann hast du analog zu vorher $d(f [mm] dx_1 \wedge dx_j) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j$. [/mm] Beachte hierbei nur wieder, dass [mm] $dx_i \wedge dx_i [/mm] = 0$ [mm] $\forall [/mm] i = 1,...,n$ also wird da auch wieder einiges rausfliegt. Ich hoffe das hilft dir. Schreib doch mal hin, was du da rausbekommst :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 29.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok,
zu i)
[mm] \bruch{\partial(\alpha*y)}{\partial x}=0, \bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y} [/mm] = 0,
also [mm] d\omega [/mm] = 0
zu ii)
[mm] \omega [/mm] = 2xzdy [mm] \wedge [/mm] dz + dz [mm] \wedge [/mm] dx [mm] -(z^{2}+e^{x})dx \wedge [/mm] dy
[mm] d\omega [/mm] = d2xz [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + d0 [mm] \wedge [/mm] dz [mm] \wedge [/mm] dx - [mm] d(z^{2}+e^{x}) \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
[mm] =\bruch{\partial 2xz}{\partial x}*dx \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + [mm] \bruch{\partial 2xz}{\partial z}*dz \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz + 0 - [mm] \bruch{\partial (z^{2}+e^{x})}{\partial x}*dx \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - [mm] \bruch{\partial (z^{2}+e^{x})}{\partial z}*dz \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
= 2z dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz - 2z dz [mm] \wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
= 2z dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz - 2z dx [mm] \wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz = 0
Zumindest sieht das Ergebnis schonmal gut aus
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Hallo Topologe,
> Ok,
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> zu i)
> [mm]\bruch{\partial(\alpha*y)}{\partial x}=0, \bruch{\partial sin(\alpha*x)}{\partial y}[/mm]
> = 0,
> also [mm]d\omega[/mm] = 0
>
> zu ii)
> [mm]\omega[/mm] = 2xzdy [mm]\wedge[/mm] dz + dz [mm]\wedge[/mm] dx [mm]-(z^{2}+e^{x})dx \wedge[/mm]
> dy
> [mm]d\omega[/mm] = d2xz [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz + d0 [mm]\wedge[/mm] dz [mm]\wedge[/mm]
> dx - [mm]d(z^{2}+e^{x}) \wedge[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
> [mm]=\bruch{\partial 2xz}{\partial x}*dx \wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz +
> [mm]\bruch{\partial 2xz}{\partial z}*dz \wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz + 0
> - [mm]\bruch{\partial (z^{2}+e^{x})}{\partial x}*dx \wedge[/mm] dx
> [mm]\wedge[/mm] dy - [mm]\bruch{\partial (z^{2}+e^{x})}{\partial z}*dz \wedge[/mm]
> dx [mm]\wedge[/mm] dy
> = 2z dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz - 2z dz [mm]\wedge[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
> = 2z dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz - 2z dx [mm]\wedge[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dz =
> 0
> Zumindest sieht das Ergebnis schonmal gut aus
Ist auch alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Sa 31.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Super
Aber eine Frage hab ich noch:
Man sollte ja eine 1-Form [mm] \eta [/mm] mit [mm] \omega [/mm] = [mm] d\eta [/mm] bestimmen.
In der Musterlösung steht, dass [mm] \eta [/mm] = [mm] e^{x}dy-xz^{2}dy+zdx [/mm] so eine 1-Form wäre
Aber wenn ich jetzt die äußere Ableitung bilde:
[mm] d\eta [/mm] = [mm] de^{x}\wedge [/mm] dy - [mm] d(xz^{2})\wedge [/mm] dy + [mm] d(z)\wedge [/mm] dx
[mm] =(\bruch{\partial e^{x}}{\partial x}*dx)\wedge [/mm] dy - [mm] (\bruch{\partial (xz^{2})}{\partial x}*dx+\bruch{\partial (xz^{2})}{\partial z}*dz)\wedge [/mm] dy + [mm] (\bruch{\partial z}{\partial z}*dz)\wedge [/mm] dx
[mm] =e^{x}dx\wedge [/mm] dy [mm] -(z^{2}dx+2xz dz)\wedge [/mm] dy + [mm] dz\wedge [/mm] dx
[mm] =e^{x}dx\wedge [/mm] dy - [mm] z^{2} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - 2xz [mm] dz\wedge [/mm] dy + dz [mm] \wedge [/mm] dx
= 2xz dy [mm] \wedge [/mm] dz + dz [mm] \wedge [/mm] dx - [mm] z^{2} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy + [mm] e^{x} [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
= 2xz dy [mm] \wedge [/mm] dz + dz [mm] \wedge [/mm] dx [mm] -(z^{2} [/mm] - [mm] e^{x})dx \wedge [/mm] dy
Also hier ist das Vorzeichen beim [mm] e^{x} [/mm] anders
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Sa 31.01.2015 | | Autor: | huddel |
Hi Topologe,
deine Rechnung ist soweit richtig. Ich denke mal Vorzeichenfehler in der Musterlösung? -.-
Auf jeden Fall sollte es mit $ [mm] \eta [/mm] = - [mm] e^{x}dy-xz^{2}dy+zdx [/mm] $ hin hauen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Sa 31.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok, danke. Ihr habt mir sehr geholfen!
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