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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Guten Tag,
ich hätte da mal ein paar kleinere Fragen an euch.
1)
Wenn es z.B. heißt "Beweise, das a [mm] \wedge(\overline{a} \vee [/mm] b) = a [mm] \wedge [/mm] b ist", reicht es dann den Logikplan und die Wahrheitstabelle zu zeichen oder muss da noch etwas gemacht werden?(Siehe Frage 2)
2)
In einer Aufgabe heißt es das ich das Beweisen soll in dem ich die linke seite 2x Negiere. Aber diese würden sich doch gleich wieder Aufheben oder soll ich das mit De Morgan trotzdem mal durchgehen?
3) Funktioniert ein KV-Diagramm auch wenn da steht a und b und c oder a und c oder b und c und d ?
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Hio!
Zu 1)
Also bei Logikbeweisen reicht es meisten aus, eine vollständige Wahrheitstabelle anzulegen. Gerade wenn nur 2 Variable vorkommen, würde ich diesen Weg wählen, da er eben sehr anschaulich ist.
Falls Du später beweise mit mehren Variablen führen sollst (z.B. mit a,b,c), dann kannst du auch rein syntaktische Umformungen wie De Morgan machen, bis du auf die entsprechende Form kommst, solange du nur Äquivalenzen benutzt. [Das sollst du anscheinend bei Teil 2 machen]
Ich denke Du wirst irgendwo eine Tabelle / Übersicht mit verschiedenen Umformungen für Logikfunktionen haben, da würde ich dann mal reinschauen.
Zu 2)
Du hast vollkommen recht, dass sich 2x negieren direkt selber wie auflöst. Aber es ist häufig ein guter Trick, eine Funktion 2x zu negieren (da es sich sofort wieder auflöst, ändert 2x negieren ja nichts am Funktionswert, d.h. du hast die Funktion nicht geändert!) und dann "von unten nach oben" De Morgan wieder auszuführen.
Zu 3)
Da verstehe ich die Frage gerade nicht so recht. In jedem Fall brauchst du wohl ein KV-Diagramm für 4 Variable, wenn es a,b,c,d enthalten soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 14.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Danke Pille456.
Ich hab jetzt mal eine Formel vereinfacht zu: [mm] \overline{a}(b+c)+b\overline{c} [/mm] . Per KV-Diagramm hab ich erfahren das die Formel zu [mm] \overline{a}c+b\overline{c} [/mm] gekürzt werden kann. Heißt das sich das b in der Klammer wegkürtzt oder habe ich ganz am Anfang was falsch umgestellt. Habe auch alles per Wahrheitstabelle überprüft, das stimmt soweit.
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Hallo Tekao,
> Danke Pille456.
>
> Ich hab jetzt mal eine Formel vereinfacht zu:
> [mm]\overline{a}(b+c)+b\overline{c}[/mm] . Per KV-Diagramm hab ich
> erfahren das die Formel zu [mm]\overline{a}c+b\overline{c}[/mm]
> gekürzt werden kann.
Nun, das würde bedeuten, dass [mm]\overline{a}b=0[/mm] wäre.
Das kann man so aus deiner "vereinfachten Formel" aber kaum herauslesen.
Vllt. postest du mal die komplette Aufgabe bzw. Formel, die du vereinfachen sollst ...
> Heißt das sich das b in der Klammer
> wegkürtzt
Wenn du die Klammer auflöst, steht da [mm]\overline ab+\overline ac+b\overline c[/mm]
Wenn sich das zu [mm]\overline ac+b\overline c[/mm] vereinfachen soll, sollte [mm]\overline ab=0[/mm] sein ...
> oder habe ich ganz am Anfang was falsch
> umgestellt.
Wie sollen wir das sagen können, wenn du uns deine Rechnung vorenthältst??
> Habe auch alles per Wahrheitstabelle
> überprüft, das stimmt soweit.
>
>
Wie gesagt: her mit der Aufgabe 
Gruß
schchuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Hier die Anfangsformel:
[mm] ab\overline{c}+\overline{a}\overline{b}c+\overline{a}b\overline{c}+\overline{a}bc
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hier die Anfangsformel:
>
> [mm]ab\overline{c}+\overline{a}\overline{b}c+\overline{a}b\overline{c}+\overline{a}bc[/mm]
Aha! Damit kann man doch was anfangen!
Fasse jeweils den ersten und dritten und den zweiten und vierten Term zusammen und klammere distributiv aus:
[mm]\equiv (\underbrace{a+\overline a}_{\equiv 1})b\overline c \ \ + \ \ \overline a(\underbrace{\overline b+b}_{\equiv 1})c[/mm]
Es ist stets [mm]x+\overline x \ = \ x\vee \overline x \ \equiv \ 1[/mm]
Damit vereinfacht sich die Chose wie gewünscht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Ok, also waren meine Schritte falsch oder einfach nur zu kompliziert!? Hab das verstanden.
Hier mal eine ähnliche Aufgabe:
[mm] \overline{a}\overline{b}c+\overline{a}bc+abc+ab\overline{c}+a\overline{b}
[/mm]
[mm] \overline{a}c+bc+a\overline{b}+ab\overline{c}
[/mm]
So und jetzt kann ich das noch vereinfachen indem ich die gleichen Sachen verbinde und den rest in Klammern schreib oder anders?
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Hallo nochmal,
> Ok, also waren meine Schritte falsch oder einfach nur zu
> kompliziert!?
Ich verstehe deine Rechnung von oben nicht.
Vllt. kannst du die Rechenschritte, die du gemacht hast, nochmal etwas kleinschrittiger aufschreiben und begründen?!
> Hab das verstanden.
>
>
> Hier mal eine ähnliche Aufgabe:
>
> [mm]\overline{a}\overline{b}c+\overline{a}bc+abc+ab\overline{c}+a\overline{b}[/mm]
>
> [mm]\overline{a}c+bc+a\overline{b}+ab\overline{c}[/mm]
Wenn sich die Monome nur in einem Literal unterscheiden, kannst du sie verschmelzen und das Literal, in dem sie sich unterscheiden, weglassen, das ergibt dann eine Verkürzung.
Du hast - wie ich glaube - die ersten beiden verartet zu [mm] $\overline [/mm] a c$, aber wie kommt das $bc$ zustande? Der Rest scheint unverändert?!
Wie gesagt, begründe oder beschreibe, was du machst, dann kann man das auch nachvollziehen ...
>
> So und jetzt kann ich das noch vereinfachen indem ich die
> gleichen Sachen verbinde und den rest in Klammern schreib
> oder anders?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Tekao |
$ [mm] \overline{a}\overline{b}c+\overline{a}bc+abc+ab\overline{c}+a\overline{b} [/mm] $
[mm] \overline{a}c+ab+a\overline{b}
[/mm]
[mm] \overline{a}c+a(b+\overline{b})
[/mm]
[mm] \overline{a}c+a
[/mm]
So müsste es jetzt richtig sein.
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Hallo nochmal,
>
> [mm]\overline{a}\overline{b}c+\overline{a}bc+abc+ab\overline{c}+a\overline{b}[/mm]
>
> [mm]\overline{a}c+ab+a\overline{b}[/mm]
>
> [mm]\overline{a}c+a(b+\overline{b})[/mm]
>
> [mm]\overline{a}c+a[/mm]
>
> So müsste es jetzt richtig sein.
Ja, das sieht gut und nachvollziehbar aus ..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Und noch einfacher geht die Formel nicht nehme ich mal an?(Die Vorherige)
Andere Aufgabe:
Als erstes hatte ich rausbekommen:
[mm] y=b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}
[/mm]
Jetzt muss ich das umstellen mit Öffner [mm] \overline{y}:
[/mm]
[mm] \overline{y}=b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}
[/mm]
[mm] y=\overline{b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}}
[/mm]
Mit De Morgan sehe das dann so aus:
[mm] y=\overline{b}+(a\overline{c})(\overline{a}+b+c)
[/mm]
Aber wie löst man jetzt die Klammern auf?
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Hio!
Die vorherige Formel kannst du eigentlich nicht mehr vereinfachen. Du kannst sie höchsten noch in einer anderen Form aufschreiben, aber einfach wird sie eigentlich nicht mehr
Das Ausklammern kannst du mit dem Distributivgestz für boolsche Funktionen machen:
a+(bc)=(a+b)(a+c) und a(b+c)=ab+ac
Wenn du Schwierigkeiten hast es anzuwenden, dann kannst du dir das auch mit + und * vorstellen, wie man es in der "normalen" Mathematik gewöhnt ist. Beachte nur, dass in der boolsche Algebra beide Varianten gelten.
Nun ist hier die Frage, welche Klammern du auflösen willst. Da das UND stärker bindet, als das ODER und im hinteren Teil der Formel b vorkommt, würde ich das [mm] \overline{b} [/mm] mit in das UND ziehen:
[mm] y=\overline{b}+((a\overline{c})\wedge(\overline{a}+b+c))=(\overline{b}+(a\overline{c}))\wedge(\overline{b}+\overline{a}+b+c)=\overline{b}+(a\overline{c}), [/mm] denn im hinteren Teil steht nun [mm] \overline{b}+b=1. [/mm] Damit wird die hintere ODER-Verknüpfung aufjedenfall immer wahr. Wegen der UND Verknüpfung in der Mitte, kannst du den ODER-Teil dann weglassen: UND wird dann ja nur wahr, wenn beide Seiten wahr sind. Da du nun weißt, dass die rechte Seite bereits wahr ist, wird der Wert von y nur noch vom linken Teil des UNDs bestimmt.
Wenn du die innere Klammer (die UND-Verknüpfung) zuerst lösen möchtest, dann geht das natürlich auch. Dann muss du 2x Distributivität anwenden. Es verhält sich dann ähnlich wie beim Ausmultiplizieren von Klammern, du musst jeden Wert mit jedem anderen Verknüpfen. Ist etwas mühselig, aber kann man ja auch mal machen.. :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Aber [mm] \overline{b}+(a\overline{c}) [/mm] ist nicht richtig, wenn du es per Wahrheitstabelle überprüft kommen andere Ergebnisse raus.
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Nabend,
> [mm]y=b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}[/mm]
>
> Jetzt muss ich das umstellen mit Öffner [mm]\overline{y}:[/mm]
>
> [mm]\overline{y}=b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}[/mm]
>
> [mm]y=\overline{b(\overline{a}+c)+a\overline{b}\overline{c}}[/mm]
>
> Mit De Morgan sehe das dann so aus:
>
> [mm]y=\overline{b}+(a\overline{c})(\overline{a}+b+c)[/mm]
das ist falsch, das erste b muss mit in den ersten Disjunktionsterm.
[mm]y=(\overline{b}+(a\overline{c}))(\overline{a}+b+c)[/mm]
viellecht sollte man deMorgan immer einmal nach dem anderen anwenden, dann macht man keine Flüchtigkeitsfehler...
>
> Aber wie löst man jetzt die Klammern auf?
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 16.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Ok, mein fehler aber das ändert trotzdem noch nicht mein Problem.
[mm] y=(\overline{b}+(a\overline{c}))(\overline{a}+b+c)
[/mm]
[mm] y=((\overline{b}+a)(\overline{b}+\overline{c}))(\overline{a}+b+c) [/mm]
Jetzt sind immer noch Klammern da, wie kann ich denn noch weiter veinfachen?
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Hallo nochmal,
> Ok, mein fehler aber das ändert trotzdem noch nicht mein
> Problem.
>
> [mm]y=(\overline{b}+(a\overline{c}))(\overline{a}+b+c)[/mm]
Das ist doch nicht [mm]y[/mm], sondern [mm]\overline y[/mm], oder nicht??
Was ist dein Ziel? Möglichst weit verkürzen?
Ich würde distributiv ausmult.
[mm]=\overline b \overline a+\overline b b+\overline b c+a\overline c\overline a+a\overline c b+a\overline c c[/mm]
Nun ist stets [mm]x\overline x=x\wedge\overline x=0[/mm], also fallen alle Monome weg, die eine solche Kombi enthalten:
[mm]=\overline b \overline a+\overline b c+a\overline c b[/mm]
Nun du weiter ... Geht noch was?
>
> [mm]y=((\overline{b}+a)(\overline{b}+\overline{c}))(\overline{a}+b+c)[/mm]
>
> Jetzt sind immer noch Klammern da, wie kann ich denn noch
> weiter veinfachen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 16.06.2011 | | Autor: | Tekao |
Ja genau, das ist [mm] \overline{y} [/mm] und ich wollte das soweit es geht kürzen.
$ [mm] \overline [/mm] b [mm] \overline a+\overline [/mm] b [mm] c+a\overline [/mm] c b $
[mm] \overline{b}(\overline{a}+c)+ab\overline{c}
[/mm]
Ja genau so wollte ich das. Vielen Dank.
Hier noch das letzte Problem das ich hab:
[mm] \overline{\overline{ab}+\overline{ab}c+\overline{ac}d}
[/mm]
[mm] \overline{\overline{ab}+\overline{ac}d}
[/mm]
[mm] (ab)(\overline{\overline{ac}d})
[/mm]
[mm] (ab)(\overline{(\overline{a}+\overline{c})d}
[/mm]
[mm] (ab)(ac+\overline{d})
[/mm]
[mm] abac+ab\overline{d}
[/mm]
[mm] abc+ab\overline{d}
[/mm]
[mm] ab(c+\overline{d})
[/mm]
Aber das stimmt ja nicht wo/was mache ich den hier falsch?
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> Hier noch das letzte Problem das ich hab:
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> [mm]\overline{\overline{ab}+\overline{ab}c+\overline{ac}d}[/mm]
>
> [mm]\overline{\overline{ab}+\overline{ac}d}[/mm]
>
> [mm](ab)(\overline{\overline{ac}d})[/mm]
>
> [mm](ab)(\overline{(\overline{a}+\overline{c})d}[/mm]
>
> [mm](ab)(ac+\overline{d})[/mm]
>
> [mm]abac+ab\overline{d}[/mm]
>
> [mm]abc+ab\overline{d}[/mm]
>
> [mm]ab(c+\overline{d})[/mm]
>
> Aber das stimmt ja nicht wo/was mache ich den hier falsch?
schnalle ich nicht, wieso sollte das falsch sein? Die Umformungen sind so weit ich sehe richtig. Ist die Ausgangsfunktion so gegeben, oder schon aus was anderem hervorgegangen?
Gruß Christian
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